Wie löst man differenzialgleichungen 2. Grades, wenn man keine Ahnung hat?
Physik..
2 Antworten
Je nach dem wie deine Differentialgleichung aussieht könnte es verschiedene Lösungsmethoden geben. Manchmal gibt es aber auch einfach keine wirkliche Lösung. Manchmal existiert eine geschlossene Form, manchmal hat man nur eine Reihentwicklungen... Manchmal ist das Ergebnis explizit, manchmal aber auch in noch komplizierteren Gleichungen ungelöst...
Z.B. ein FDE der Ordnung 2 löst man anders als ein PDE der Ordnung 2... Ihr Lösungsmethoden haben meistens kaum was gemeinsam.
Ich gehe in Folgenden besonders auf ODEs ein.
Lineares ODE zweiter Ordnung (allgemein)Form: y''(x) + p(x) * y'(x) + q(x) * y(x) = g(x)
Für lineare ODEs zweiter Ordnung gibt es zum Glück Lösungsformeln-
Die partikulare Lösung (kann man über Variation von Parametern finden - siehe hier die Herleitung):
Mit y1 und y2 als homogene Lösungen und W als Wronskian.
Für die zweite homogene Lösung (siehe hier die Herleitung):
Die erste homogene Lösung findest du entweder, da du die Form kennst, du sie unterwegs beim Vereinfachen findest, sie ratest oder sie trivial ist. Du hast wahrscheinlich schon man eine Tabelle gesehen, wo viele Spezialfälle draufstehen und wie dort die homogene Lösung aussehen muss.
Homogenes Lineares ODE zweiter Ordnung
Form: y''(x) + p(x) * y'(x) + q(x) * y(x) = 0
Es kommt die triviale Lösung y(x) = 0 dazu (siehe hier die Herleitung: Formeln 24 bis 40):
Ist q(x) = 0, so gilt:
Es kommt auch eine neue Lösungsmethode dazu: Frobenius Methode (Reihentwicklung als Lösung)
ODEs zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Form: y''(x) + p * y'(x) + q * y(x) = g
Hier kannst du verschiedenes anwenden. Z.B.:
Ziehen der Laplace Transformation gibt dir eine lineare Gleichung an Transformierten y(x), welche man schnell umstellen kann nach zusammen fassen (- Konstante dann / Leitkoeffizient). Dann ziehen wir noch die Umkehr-Laplace Transformation und fertig sind wir. (Sie hier.)
Wenn homogen (g = 0): y(x) := Exp[a * x], dessen n.te Ableitung a^n * Exp[a * x] ist aka du erhälst ein Polynom zweiten Grades mal Exp[a * x], was sich rauskürzen kannst, gleich 0. ABC-Formel rauf und fertig bist du.
Lineares DDE zweiter Ordnung (allgemein)Form: y''(x + a) + p(x) * y'(x + b) + q(x) * y(x + c) = g(x)
Es ist basicly das gleiche, nur dass hier der delay bzw. advance kommt.
Sind die Koeffizienten konstant, so würdest du hier mit der Z-Transformation arbeiten oder wieder y(x) := Exp[a * x] substituieren (du erhält eine Gleichung lösbar durch die Lambertschen W Funktion oder anderen Speziellen Funktionen). Ansonsten ist es hier eigentlich ein Ratespiel.
Ist die Gleichung homogen, so könnte Frobenius Methode funktionieren, aber das auch nur manchmal.
Lineares PDE zweiter Ordnung (allgemein)Form: Differentialgleichungen mit Funktionen die von mehr als einer Variable abhängig sind
Es wird immer Schwerer... Oft gibt es hier nur noch numerische Lösungen oder man arbeitet sich über Randbedingungen und einige Relationen zu einzelnen Lösungen hin. Alternativ wird kann hier auch noch "die" Fourier Transformation nütlzich sein.
Lineares FDE zweiter OrdnungForm: Differentialgleichung in der Ableitungen nicht-ganzer Ordnung stecken
Viel schwerer geht es kaum... Abhängig von der Definition, Art, Grenzen, Typen und Randbedingungen der einzelnen Ableitungen unterscheiden sich fast alle Ergebnisse. Selbst bei einfachsten FDEs sind Lösungsmethoden oft einfach nur das komplette Ausreizen der Definitionen von bestimmten Operatoren bzw. Transformationen.
Hat das FDE konstante Koeffizienten und ist homogen, so kann man auch hier mit y(x) := Exp[a * x] arbeiten. Du erhält jedoch keine Polynome mehr und Lösungen können nur noch numerisch erreicht werden.
Zum Glück begegnet man Differentialgleichungen dieser Art fast nie, außer man geht in wirklich komplizierte physikalische Systeme oder Arbeitet aus Spaß damit.
...
Das Lösen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann eine komplexe Aufgabe sein, insbesondere wenn man keine Vorkenntnisse hat. Es gibt verschiedene Methoden, um solche Gleichungen zu lösen, wie zum Beispiel die Methode der konstanten Koeffizienten, die Methode der Variation der Konstanten oder die Methode der charakteristischen Gleichung. Wenn du keine Ahnung hast, wie man Differentialgleichungen zweiter Ordnung löst, empfehle ich dir, dich an einen Tutor, Lehrer oder Experten auf diesem Gebiet zu wenden. Sie können dir helfen, die Grundlagen zu verstehen und dir die verschiedenen Lösungsmethoden erklären. Es gibt auch viele Online-Ressourcen, Tutorials und Videos, die dir bei der Lernprozess helfen können. Es ist wichtig, Geduld und Ausdauer zu haben, da das Lösen von Differentialgleichungen eine gewisse Übung erfordert. Mit der Zeit und der richtigen Anleitung wirst du in der Lage sein, diese Art von Gleichungen zu verstehen und zu lösen.