Exakte DGL?
Aufgabe: Löse das Anfangswertproblem für y+(x+3y^2)y‘=0 mit y(-1)=-1
Da dieses DGL ja exakt ist, macht es ja Sinn nach der Theorie der exakten DGL vorzugehen.
Das Potential ist dann entsprechend y^3+yx.
Das setzt man ja gleich c und stellt nach y um. Ich kenne das bisher aber nur mit Ausrücken mit 2 als höchster Potenz, sodass man lediglich die pqFormel anwenden muss.
wie stellt man y^3+yx=c nach y um?
1 Antwort
Man könnte jetzt irgendwelche aufwendige Formeln für Polynome dritten Grades raussuchen, sowie die von Cardano.
Es ist aber leichter, die Funktion F der Arität Zwei zu betrachten
F(x, y) = y³ + x y + c = 0
die gleich der Nullfunktion ist.
Mit dem Hauptsatz über impliziete Funktionen wissen wir dann, dass wir bei (–1, –1) nur nach y auflösen können, wenn c = 0 ist.
Denn der Hauptsatz besagt, dass der Punkt, um den nach den Argument(en) (hier nur y) aufgelöst werden soll, das Gleichungssystem (hier eine Gleichung) erfüllen muss.
Da c aber noch nicht fix ist, können wir c = 0 setzen, wodurch F(–1, –1) = 0 erfüllt ist. Dies ist ein notwendiges Kriterium des Hauptsatzes.
Damit erhalten wir schnell und einfach
y³ + x y = 0 <=> y = –√(–x)
für x < 0. Wir haben nur die negative Lösung von y² = –x gewählt, da y ja –1 anehmen soll.
Setzen wir das ein erhalten wir
y + (x + 3 y²) y‘ = 0
–√(–x) + (x + 3 (–√(–x))²) • 1/(2√(–x)) = 0
–√(–x) + (–2 x) • 1/(2√(–x)) = 0
–√(–x) + (–x) / √(–x) = 0
–√(–x) + √(–x) = 0
und damit ist y: (–∞, 0) –> (–∞, 0) mit
y(x) = –√(–x) bestätigt.
Was ist denn die Lösung?
Außerdem kannst du das auch ohne den Hauptsatz machen.
Wegen der Anfangsbedingung y(–1) = –1 muss aus
y³ + x y = c
zwangsläufig c = 0 folgen. Denn die Gleichung muss für alle x gelten und damit auch für x = –1, also
(y(–1))³ + (–1) • y(–1) = c
(–1)³ + (–1) • (–1) = c
–1 + 1 = c
Danke für den Aufwand, wird hier aber leider nicht als Lösung akzeptiert werden, da dies nie Thema war in den Vorlesungen