Kann mir jemand diesen Lösungsschritt erklären?

Links steht die DGL, die es zu lösen gilt. Ich verstehe den 2. Schritt rechts nicht.

Danke

Answer 1

[nobytree2]

Im ersten Schritt werden beide Seiten mit y(x) multipliziert und man erhält die rechte Seite der ersten Zeile.

In der zweiten Zeile wird alles integriert, das Minuszeichen hinter dem Integral kann, da hier Linearfaktor, vor das Integral.

Die rechte Seite der dritten Zeile müsste klar sein, einfach x hochintegriert.

Und zur linken Seite: y'(x) ist die innere Ableitung zu y(x). Wenn wir y(x) integrieren auf (y(x))²/2, dann muss die innere Ableitung vorhanden sein, welche in der Integration wegfällt.

Warum ist das so? Ganz einfach, wir leiten mal ((y(x))²) ab:

Äußere Ableitung von ((y(x)²) ist 2 * y(x).

Die innere Ableitung von y(x) ist y(x)'.

Damit ist die Ableitung von ((y(x))²) = 2 * y(x) * y(x)'.

Und wenn wir 2 * y(x) * y(x)' nun integrieren, als Umkehrfunktion, dann brauchen wir die innere Ableitung, um eine Funktion "aufleiten" zu können.

Noch ein Beispiel: Integration von cos(x²) * 2x = sin(x²). Das 2x ist die innere Ableitung von x², die muss vorhanden sein, damit sie in der Integration wegfallen kann. Denn die Ableitung von sin(x²) ist

äußere Ableitung: cos(x²)

innere Ableitung: 2x

Also Ableitung von sin(x²) = 2x * cos(x²).

Umgekehrt ist das Integral von 2x * cos(x²) = sin(x²). Äußere Ableitung (cos(x²)) mal innere Ableitung (2x).

So verständlich?

Answer 2

[verreisterNutzer]

Also ich verstehe nicht wieso das Integral von y'(x) dx =1

... das steht ja gar nirgends da. Es steht da, dass

$\int y'\left(x\right)y\left(x\right)\ dx\ =\ \frac{1}{2}y\left(x\right)^2$

ist. Leite das mal mit der Kettenregel ab und dann wird das auch klar:

$\frac{d}{dx}\frac{1}{2}y\left(x\right)^2=\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{2}y\left(x\right)^2\right)\cdot\frac{d}{dx}y\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot y\left(x\right)^1\cdot y'\left(x\right)=y\left(x\right)\cdot y'\left(x\right)$

Wenn Dir jetzt zu sehr die Frage "Wie sehe ich das denn nur" im Kopf herumschwirrt, dann kannst Du auch die partielle Integration auf das Integral anwenden (ich lass' mal das (x) in der Schreibweise jeweils weg und wende an, dass man im Integranden die Funktionen vertauschen darf)

$\int y'\cdot y\ dx\ =\ y\cdot y\ -\int y\cdot y'dx\ \ \ \ \ \ |\ +\int y\cdot y'dx$ $2\cdot\int y'\cdot y\ dx\ =\ y^2\ \ \ \ \ \ \ |\ :2$ $\int y'\cdot y\ dx\ =\ \frac{1}{2}y^2$

Comments

[Benutzer081102]

Danke!!!