DGL Mathe berechnung der Folgenden aufgabe?
Guten Abend, nun da ich mich zum 2-Teil meiner Mathe Prüfung vorbereite und der Bereich DGL relativ neu ist habe ich am Anfangs Probleme direkt zu wissen wie man was berechnet, kann mir jemand beispielhaft die folgende aufgaben unten lösen und eventuell die schritte erklären? Das würde mir sehr weiter helfen.
Ich Bedanke mich im Voraus.
2 Antworten
Das ist eine sogenannte Riccatische Differentialgleichung mit f(x) = 1, g(x) = 0 und h(x) = -2/x². Du hast eine partikuläre Lösung gegeben und kannst damit mit dem im Artikel angegebenen Verfahren die weiteren Lösungen bestimmten. Ein Haufen Beispiele finden sich in den Aufgaben im Buch von Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, 4. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Ich habe die erste Auflage, da ist es Aufgabe 33.
Edit: Ich glaube das ganze Vorgehen hier unten ist falsch, da es keine lineare DGL ist.
Indem y = 1/x als partikuläre Lösung angegeben wird, brauchen wir nur noch die homogenen Lösungen berechnen, um die allgemeine Lösung zu erhalten (siehe aber letzten Abschnitt).
y' = y² |:y² (y ≠ 0)
=> y'/y² = 1 |Integral
=> –1/y = x+ĉ |*(–1)|^(–1)
=> y = 1/(c–x)
mit –ĉ = c.
Als allgemeine Lösung erhalten wir somit
y = 1/x + 1/(c–x),
wobei c beliebig ist (c kann man bspw. mit Anfangswerten berechnen, falls sie gegeben sind). Achtung, da y mit 2 potenziert wird, darfst du für die allgemeine Lösung keine Vielfachen der homogen Lösung addieren (nur das Vielfache 1).
Ich kenne mich mit solchen DGL allerdings nicht wirklich aus. Ich weiß nicht, ob nun alle Lösungen abgedeckt sind.
Weiß du zufällig ob zu dem Ansatz ein lernvideo auf YouTube oder so gibt?
Weiß ich nicht. Ich weiß auch nicht, ob man das überhaupt allgemein so macht. Der quadratische Term ist eben das Problem. Ich kenne mich nur mit linearen DGL aus.
Ich glaube sogar, dass mein Weg falsch ist.
Die gefundene homogene Lösung muss falsch sein. Bei der Nachrechnung geht sie nicht auf. Kann allerdings nicht sagen, warum sie nicht aufgeht. Ich hätte die homogene Lösung genau so gerechent. WolframAlpha kommt auch auf eine andere Lösung. Da gelingt es mir wiederum nicht die partikuläre Lösung abzuspalten. Siehe link
Wie gesagt, die homogene Lösung ist zwar korrekt, die allgemeine aber nicht (wegen dem Quadrat).
Der Ansatz klappt nur bei linearen Differentialgleichungen. Hier handelt es sich um eine Riccati Differentialgleichung.
Ja, genau. Habe mich gestern den ganzen Tag damit befasst, weil ich eine Bildungslücke schließen wollte. Hatte die Lösung gestern abend sogar bis auf das letzte Detail mit dem LaTex Editor hier eingetippt. Aber wenn man ein paar Formeln zu viel einstellt, dann hängt die GuteFrage Absende Funktion. Darum habe ich mein Werk erneut mit dem Word-Formel Editor zusammen geschrieben und es heute morgen als Bild Datei eingebunden. Sehr ärgerlich. Hat man da noch Lust sich hier zu engagieren?
Der GF Latex Editor ist nur für kurze Formeln geeignet. Mehr als zwei Zeilen damit zu schreiben ist Strafarbeit. Wenn ich längere Herleitungen machen möchte verwende ich einen der vielen Online Editoren im Netz und stelle dann das Bild ein.
Du musst da noch eine Fallunterscheidung machen für y=0, da du geteilt hast.