Wie kann man das Argument komplexer Zahl berechnen?

Hallo ihr lieben,

ich scheitere bei der Berechnung des Arguments.
Ich weiß, dass folgendes gilt:
$\arg\left(z\right)=\tan^{-1}\left(\frac{Im}{Re}\right)$
Wenn ich z mit dem konjugiert komplexen erweitere, erhalte ich:
$\frac{\sin\left(3\right)+\cos\left(3\right)}{2}+i\left(\frac{\sin\left(3\right)-\cos\left(3\right)}{2}\right)$

Das setze ich in den arctan ein und dann bin ich überfordert es zu lösen (ohne Hilfsmittel!!)
$\tan^{-1}\left(\frac{\sin\left(3\right)-\cos\left(3\right)}{\sin\left(3\right)+\cos\left(3\right)}\right)=...?$

Answer 1

[Rammstein53]

z1 = cos(3) + i*sin(3)

z2 = 1 + i

|z1/z2| = |z1|/|z2|

|z1| = 1, |z2| = sqrt(2)

##

arg(z1/z2) = arg(z1) - arg(z2)

arg(z1) = 3

arg(z2) = tan(1) = pi/4

Comments

[Sheeeeesh2]

Vielen Dank. Kurz & knackig auf den Punkt gebracht!

[Rammstein53]

@Sheeeeesh2

Danke für den Stern.

Answer 2

[Aurel8317648]

Roll es von hinten auf:

Tan(arg(z)) = Tan (3-pi/4) = sin (3-pi/4) / cos (3-pi/4)

Verwende die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus und dass

sin(pi/4) = cos ( pi/4) = 1/ wurzel(2)

Answer 3

[eterneladam]

Das geht ohne viel Rechnen. Im Zähler steht e^(3i) mit Betrag 1 und Argument 3. Die Zahl Im Nenner (stell dir dieser in der gauss'schen Ebene vor) hat Betrag Wurzel(2) und Argument Pi/4. Beträge dividieren, Argumente subtrahieren.

Answer 4

[wrglprmft]

Es ist

$\frac{\sin3\ -\cos3}{\sin3+\cos3}=\frac{\frac{\sin3}{\cos3}-\frac{\cos3}{\sin3}}{\frac{\sin3}{\cos3}+\frac{\cos3}{\cos3}}=\frac{\tan3-1}{\tan3+1}=\frac{\tan3-\tan\frac{pi}{4}}{\tan3\cdot\tan\frac{pi}{4}+1}=\tan\left(3-\frac{pi}{4}\right)$ Dabei ist das letzte Gleichheitszeichen das Additionstheorem für den Tangens. Ferner wurde ausgenutzt, dass tan(pi/4) = 1.