Antwort
x/b = (x+a)/c
Nach x auflösen:
x = a*b/(c-b)
x = 17*75/(100-75) = 51 m
Antwort
17 Meter entsprechen 17 mm und 1,7 Meter 1,7 mm.
Weil das zeichnerisch nur ungenau darstellbar ist, würde ich den Standort S auf die x-Achse legen. Die Turmhöhe ist dann ~ 113.8 Meter. Darauf müssen dann noch 1,7 Meter addiert werden.
Antwort
Wegen der Frage habe ich Herrn Schradin angerufen. Er meint: Der Mann hat sechs Söhne, eine Tochter, dazu kommen neun Diverse. Macht in Summe 16.
Antwort
2a)
x - 3y - 2z = -8
Man sucht drei Lösungen der Gleichung, indem man zwei Koordinaten Null setzt:
y=z=0: A=(-8,0,0)
x=z=0: B=(0, 8/3, 0)
x=y=0: C=(0,0,4)
Die Parameterform lautet dann
A + r*(B-A) + s*(C-A)
(-8,0,0) + r*(8, 8/3, 0) + s*(8,0,4)
Achtung: es gibt viele Lösungen, die anders aussehen, aber immer dieselbe Ebene bestimmen. z.B. könnte man auch so lösen:
C + r*(A-C) + s*(B-C)
B + r*(A-B) + s*(C-B)
2b)
Die Schnittgerade zweier Ebenen zu erstellen, ist fast immer nur umständlich zu lösen. Ein Patentrezept gibt es nicht. Ich würde hier E3 in die Koordinatenform umwandeln. Der Normenvektor von E3 ist bereits gegeben und lautet (2,1,3).
Der erste Ansatz lautet damit 2x + y + 3z = a
a ist das Skalarprodukt aus (2,1,3) und (3,3,1) a = 12
Nun hat man die beiden Gleichungen:
x - 3y - 2z = -8
2x + y + 3z = 12
x lässt sich eliminieren, indem man die erste Gleichung mit -2 multpliziert und die beiden Gleichungen addiert:
7y + 7z = 28
y + z = 4
Eine Lösung suchen, z.B. y = 1, z = 3
In die beiden Gleichungen einsetzen, das ergibt x = 1
Noch eine Lösung suchen, z.B. y = 2, z = 2
In die beiden Gleichungen einsetzen, das ergibt x = 2
Nun hat man zwei Punkte A=(1,1,3) und B=(2,2,2), welche die Schnittgerade bilden
A + r*(B-A)
3a) falsch, Schnittgerade hat unendlich viele Punkte
3b) falsch, eine Gerade kann eine Ebene auch schief schneiden.
3c) falsch, eine Ebene parallel zu z-Achse hat genau zwei Spurpunkte Sx und Sy, liegt aber nicht parallel zur x-y-Ebene
3d) richtig
Antwort
E1: 2x - y + z = 0
E2: (1,2,3) + s(-2,1,3) + k(4,-1,2)
E2 lässt sich als GLS schreiben:
x = 1 - 2s + 4k
y = 2 + s - k
z = 3 + 3s + 2k
x,y,z in E1 einsetzen:
2(1 - 2s + 4k) - (2 + s - k) + (3 + 3s + 2k) = 0
umformen:
11k -2s + 3 = 0
z.B. nach s auflösen:
s = 1/2*(11k+3)
s in das GLS für E2 einsetzen:
x = 1 - 2(1/2*(11k+3)) + 4k
y = 2 + (1/2*(11k+3)) - k
z = 3 + 3(1/2*(11k+3)) + 2k
zusammenfassen, das ergibt die Schnittgerade:
x = -2 - 7k
y = 7/2 + 9/2k
z = 15/2 + 37/2k
Richtungsvektor ganzzahlig skalieren (muss aber nicht sein):
x = -2 - 14k
y = 7/2 + 9k
z = 15/2 + 37k
Eine alternative Methode geht so:
Man sucht zwei Lösungen der Gleichung 11k -2s + 3 = 0
k = 1, s = 7
k = 3, s = 18
Die beiden Lösungen setzt man in das obige GLS für E2 ein:
(x1,y1,z1) = (-9,8,26)
(x2, y2, z2) = (-23, 17, 63)
Die beiden Punkte bilden die Schnittgerade
(-9,8,26) + r*(-14, 9,37)
Die beiden so ermittelten Schnittgeraden sind identisch, lediglich die Ortspunkte sind verschieden.
Antwort
Nein!
Die Beschreibung passt besser auf die Grünen.
Antwort
g(r) = (1,2,0) + r* (-1, -1, 1)
a)
Schnittpunkt mit der x-Ebene : x-Koordinate muss Null werden,
das ist für r = 1 der Fall, S23 = g(1) = (0,1,1)
Schnittpunkt mit der y-Ebene : y-Koordinate muss Null werden,
das ist für r = 2 der Fall, S13 = g(2) = (-1,0,2)
Schnittpunkt mit der z-Ebene : z-Koordinate muss Null werden,
das ist für r = 0 der Fall, S12 = g(0) = (1,2,0)
Beim Einzeichnen liegen diese Punkte einfach auf der Geraden g(r).
b)
Das Dreieck wird durch die Punkte O=(0,0,0), S13 und S23 gebildet.
Das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren O-S13 = (-1,0,2) und O-S23 = (0,1,1) ergibt √6.
Die Fläche des Dreiecks beträgt somit 1/2 * √6
Antwort
Bei der Funktion sin(x) kann man Argumente mit der Einheit Bogenmaß oder der Einheit Winkel einsetzen.
Also z.B. sin(1.3) oder sin(25°)
Aus dem Zusammenhang sollte hervorgehen, welche Einheit gemeint ist, denn sin(25) != sin(25°). Steht da z.B sin(π) oder sin(π/2) geht man vom Bogenmaß aus, weil Winkel üblicherweise nicht mit dem Faktor π dargestellt werden.
Am Einheitskreis kann man sich folgende Werte veranschaulichen
sin(0°) = 0
sin(90°) = 1
sin(180°) = 0
sin(270°) = -1
sin(360°) = 0
Die Funktion sin() hat eine Periode von 360°, d.h. bei grösseren Winkeln beginnt das Karusell auf dem Einheitskreis aufs Neue. So gilt z.B.
sin(380°) = sin(360°+20°) = sin(20°)
Um die Einheit Winkel w in das Bogenmaß b umzurechnen, nutzt man die Formel
b = w * π/180
Um die Einheit Bogenmaß b in einen Winkel w umzurechnen, nutzt man die Formel
w = b * 180/π
Beispiel:
Das Bogenmaß b = 1/3 * π aus der Aufgabe in einen Winkel umrechnen:
1/3 * π * 180/π = 1/3 * 180 = 60
Daraus folgt sin(1/3 * π ) = sin(60°)
Antwort
Der nachschüssige Rentenendwert mit Startkapital K0, dem Zins q und der Rate r beträgt nach n Perioden:
Bei bekanntem Endkapital K ergibt sich die Rate r aus :
Mit K = 10000, K0 = 4000, q = 1.0025 und n = 24 ergibt sich r ~ 232.88727
Antwort
Bedingt
Wenn Greta Thunberg auf die Straße geht, um auf den Klimawandel aufmerksam zu machen, schütteln ihr die Politiker die Hände.
Wenn sie auf die unakzeptablen Zustände im Gazastreifen hinweisen will, wird sie als Antisemitin ins Abseits gestellt.
Finde den Fehler.
AC = C - A = (v-4, 3)
BC = C - B = (v-11, 4)
Die Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn das Skalarprodukt Null ergibt:
AC*BC = (v-4)*(v-11) + 3*4 = v² - 15v + 56
v² - 15v + 56 = 0 ?
für v = 7 oder v = 8
Antwort
Man muss die Breite, Höhe und Trittfestigkeit der Karriereleiter berechnen können.
Das ist kein Spaß, sondern bitterer Ernst. Inzwischen kommen nur noch solche Mitarbeiter noch oben, die korrekt gendern und Mathe mit Klimawandel, Nachhaltigkeit und Wokeness verknüpfen können. Echte Qualifikation spielt keine Rolle mehr.
Antwort
Das Mittel lautet allgemein
s = Summe der Zahlen, n = Anzahl der Zahlen
Zwei Zahlen x,y dazu nehmen, neues Mittel:
Beide Mittelwerte sollen gleich sein:
Löst man die Gleichung auf, kann man die Zahl x beliebig wählen und für y gilt
Will man nur positive x und y, dann muss gelten
Antwort
1d)
Man nennt einen Vektor v=(x,y,z) Einheitsvektor, wenn der Betrag (die Länge) 1 ergibt.
Länge |v| = √(x² + y² + z²)
Der Vektor AB lautet (-3,-3,-6)
Länge = √( 9 + 9 + 36) = √(54)
Damit die Länge 1 ergibt, wird der Vektor mit 1/√(54) skaliert.
Das Vorzeichen der Skalierung spielt keine Rolle. 1/√(6) * (-1,-1,-2) ist auch ein Einheitsvektor von AB.
9d)
Die Aufgabe/Lösung taucht in der Frage nicht auf.
Antwort
Ich habe mal versucht die Eingaben nachzubilden. Meiner Ansicht nach funktioniert die Abbildung. Die Anweisungen führen zu einer Rotation des Dreiecks um den Ursprung. Eine Spiegelung basiert jedoch auf einer Spiegelachse.
Antwort
Die Funktionsstücke
|x²-4x+4| für x > 0
und
|-x²+4x-4| für x <= 0
bilden zusammen die Funktion
x²-4x+4 für x € R
Die Funktion -x²+4x-4 ist die Spiegelung an der x-Achse. Damit sollten sich alle Fragen beantworten lassen.
Antwort
Der Begriff Altersdiabetes kommt daher, weil mit zunehmenden Alter die Rezeptoren der Muskelzellen nicht mehr auf das Hormon Insulin reagieren (Insulinresistenz). In Folge ist der Blutzuckerspiegel erhöht.
Aber auch die insulinproduzierenden Zellen der Bauchspeicheldrüse produzieren mit zunehmendem Alter weniger Insulin.
Das kann eine Folge falscher Ernährung oder von Bewegungsmangel sein, muß aber nicht.
Der juvenile Diabetes dagegen ist eine Autoimmunerkrankung, bei der die insulinproduzierenden Zellen der Bauchspeicheldrüse geschädigt werden. Dadurch kann der Körper kein Insulin mehr bilen. Typischerweise tritt diese Erkrankung schon in der Jugend auf.
Daher machen die Begriffe „juveniler Diabetes“ (Typ I) und „Altersdiabetes“ (Typ II) durchaus Sinn.
Antwort
Diese Aufgabe macht keinen Sinn.
Da die Geschwindigkeit sowohl positiv als auch auch negativ wird, wechselt Herr Müller während der Fahrt die Richtung. Das mag sein, mutet aber schon mal sonderbar an.
Der zurückgelegte Weg ergibt sich aus dem Integral der Geschwindigkeit:
Bis zur Zeit t = 0.4 wächst die Entfernung zum Punkt A, sofern Herr Müller eine völlig gerade Strecke zurücklegt. Fährt er aber im Kreis um den Punkt A, entspricht s(t) zwar dem zurückgelegten Weg, die Entfernung zum Ausgangspunkt A bleibt jedoch unbekannt.
Einfaches Beispiel: man kann auch auf einem kleinen Grundstück einen Weg von 55 km zurücklegen.
Befindet sich Herr Müller auf einer geraden Strecke, würde die Entfernung zu A ab der Zeit t = 0.4 wieder kleiner werden, weil v(t) negativ wird.
Das alles passt nicht zur Aufgabenstellung.
Antwort
c : die Schwingung ist um den Wert c nach links (im Fall c > 0) bzw. um den Wert c nach rechts (im Fall c < 0) verschoben (Phasenverschiebung).
c erkennt man immer daran, dass an dieser Stelle die sin-Welle beginnt.
1/2)
die sin-Welle beginnt bei -2π oder +2π
deshalb lauten mögliche Werte c = +2π oder c = -2π
2/2)
die sin-Welle beginnt bei -π oder -π/5 oder +3*π/5
deshalb lauten mögliche Werte c = +π oder c = +π/5 oder c = -3π/5
Antwort
Die Figur sieht folgendermaßen aus:
Der Punkt B ist die Schnittstelle von g(x) mit der Geraden f(-0.2)
g(x) = f(-0.2) für x ~ -0.956675
Der Punkt C ist die Schnittstelle von f(x) mit der Geraden f(-0.2)
f(x) = f(-0.2) für x = -0.2
Außerdem gilt y = f(-0.2) ~ -3.84168
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Das Integral der Differenzfunktion f(x) - f(0.2) über dem Intervall von -6 bis zum Punkt C: [-6, -0.2] ergibt A1 ~ 21.906125
Das Integral der Differenzfunktion g(x) - f(0.2) über dem Intervall von -6 bis zum Punkt B: [-6, -0.956675] ergibt A2 ~ 15.54309
Gesamtfläche : A = A1 - A2 = 21.90612 - 15.54309 ~ 6.36303
Zur Erklärung : man schiebt beide Funktionen um | f(-0.2) | nach oben und kann dann die untere Fläche von der oberen Fläche unter Berücksichtigung der passenden Intervallgrenzen abziehen. Die Betrachtung der Diferenzfunktion f(x) - g(x) macht wenig Sinn, weil die nur bis zum Punkt B gültig ist.
