Winkel Phi eines komplexen Bruchs?
Hallo, ich frage mich ob es eine Möglichkeit gibt, den Winkel Phi eines komplexen Bruchs, in der Form (x+jy)/(w+jz) zu berechnen, ohne diesen zuvor durch konjugiert komplexes erweitern auf die "Normalform" (a+jb) zu bringen. (a&b sind dabei irgendwelche Brüche aus Reelen Zahlen)
2 Antworten
Das ist eigentlich recht simpel, denn es gilt für beliebige komplexe Zahlen a und b:
arg(a/b) = arg(a) - arg(b) = atan2(Im(a)/Im(b)) - atan2(Im(b)/Im(a))
Warum dies gilt sieht man schnell ein, wenn man die Exponentialdarstellung für die komplexen Zahlen verwendet. Es gilt:
a = |a|*exp(i*arg(a))
b = |b|*exp(i*arg(b))
--> a/b = |a/b|*exp(i*(arg(a) - arg(b)))
Und damit dann der Anfangs erwähnte Zusammenhang:
arg(a/b) = arg(a) - arg(b)
Bei dem Argument arg(z) einer komplexen Zahl z handelt es sich um den zugehörigen Winkel aus der Polardarstellung. Als Beispiel:
z = 1 + i (Kartesische Darstellung)
z = sqrt(2)*exp(i*pi/4) (Polardarstellung)
---> arg(z) = arg(1 + i) = pi/4
der gesuchte Winkel in Radianten. Ich denke mal, dass du das gesucht hattest?
warum willst du den Bruch nicht vorher erweitern?
Das ist ziemlich viel Rechenarbeit und ich verrechne mich dabei sehr oft.
Kennst du die Verallgemeinerung für die Multiplikation z und z konju? a² + b² das hilft dir im Nenner!
@LeibnitzRule Ja, die kenne ich. Aber trotzdem danke!
Erstmal vielen Dank für die Anwort, mir ist nur leider nicht ganz klar was du mit arg meinst