Zweite Ableitung Schreibweise?
Warum ist f''(x) = d²f/dx² und nicht d²f/d²x²? Das würde doch rauskommen, wenn man d/dx × df/dx ausmultipliziert?
3 Antworten
d ist ein Operator, der aus einer Größe ein Maß für seine Änderung macht.
dy / dx ist der Quotient der beiden Differentiale. (Wenn zufällig y = f(x) ist, dann stimmt dieser Quotient mit der Ableitung von f nach x überein.)
Die Ableitung von f(x) lässt sich also darstellen als ( d f(x) ) / ( d x )
Wenn wir f'(x) mit g(x) bezeichnen, also g(x) := f'(x), dann ist die zweite Ableitung von f(x):
f''(x) = ( d ( d f(x) ) / ( d x ) ) / ( d x )
und entsprechend der Kettenregel ist der Zähler
d ( d f(x) ) / ( d x )
= ( ( d (d f(x)) ) * (d x) - (d f(x)) * ( d (d x) ) ) / ( (d x) ^2 )
Der Term (d f(x)) * ( d (d x) ) ist nicht so leicht auszuwerten - er müsste verschwinden, aber da komme ich jetzt nicht drauf.
Was übrig bleibt, ist
( d (d f(x)) ) / (d x)
um wieder auf f''(x) zu kommen, müssen wir noch einmal durch d x teilen, also
f''(x) = ( d (d x) ) / (d x)^2
Die doppelte Anwendung des Operators d wird auch mit d^2 bezeichnet. Damit kommen wir auf
f''(x) = d^2 f(x) / (dx)^2
Man darf aber nicht ausmultiplizieren. D = d/dx ist ein Differential-Operator, die zweite Ableitung gerade die zweifache Ausführung von D, also die Verkettung D ° D. Aber letztendlich sind Schreibweisen eben nur Schreibweisen und damit Schall und Rauch…😂
Vermutlich meinst Du mit „kleinem Delta“ die partiellen Ableitungen - die werden auf Funktionen mehrerer Veränderlicher in eine Variablen-Richtung angewandt…
Das ist ein del und kennzeichnet eine partielle Ableitung von einer Funktion von zwei variablen nach einer dieser
Die zweite Ableitung ist doch nicht das Quadrat der ersten Ableitung. Man muss die erste Ableitung noch einmal ableiten um die zweite Ableitung zu bekommen. Die Schreibweise ist eine willkürliche Konvention.
Beispiel sin(x), da ist die zweite Ableitung -sin(x) und das Quadrat der ersten Ableitung cos²(x), was übrigens dasselbe ist wie (cos(2x)+1)/2.
Beispiel x², da ist die zweite Ableitung 2 und das Quadrat der ersten Ableitung 4x².
Weißt du auch, warum es einen Differentialoperator mit kleinem d und einen mit kleinem delta gibt?