Definition der zweiten Ableitung?
Hallo liebe Matheprofis,
wir behandeln im Grundkurs Mathe derzeit die zweite Ableitung. Ich bin auch eigentlich recht sicher in den rechnerischen und graphischen Anwendungsmöglichkeiten und verstehe auch, wofür sie erforderlich ist.
Jedoch habe ich noch Probleme beim Verständnis der graphischen Zusammenhänge der Ableitungsfunktionen:
Die zweite Ableitung ist die Ableitung der 1. Ableitung. Wenn die erste Ableitung die Steigung der Ursprungsfunktion angibt, gibt die zweite Ableitung wiederum die Steigung der 1. Ableitung an. Mit Hinblick auf die Ursprungsfunktion müsste das doch dann bedeuten, dass die zweite Ableitung Aussage darüber gibt, ob sich ein Punkt auf dem Graphen auf einer „Strecke“ mit positiver oder negativ werdender Steigung beziehungsweise einer „Rechts-, oder Linkskurve“ befindet, oder?
Ein Wendepunkt wäre dann ja auch der Punkt, wo die Steigung der Ursprungsfunktion anfängt, wieder positiv oder negativ zu werden (Diese muss aber natürlich nicht zwingend positiv/negativ sein)
Vielleicht kann ja jemand von euch Licht ins Dunkle bringen.
Danke!
4 Antworten
Deine letzte Überlegung ist nicht korrekt (wenn ich sie richtig verstanden habe). Die Steigung der Ursprungsfunktion bleibt im Wendepunkt positiv bzw. negativ, d. h. sie behält ihr Vorzeichen - Ausnahme ist der Sattelpunkt/Terrassenpunkt: dort ist die Steigung im Wendepunkt gleich Null.
Zum Wendepunkt kann man noch sagen, dass dort die Steigung (lokal) am größten ist (dort hat die erste Ableitung ihre Extremstelle). Dieses Wissen ist vor allem bei Steckbriefaufgaben, bei denen Funktionsterme aus gegebenen Eigenschaften ermittelt werden sollen, schonmal hilfreich.
Glaube immer noch, dass Du das zu sehr verallgemeinerst. :)
Schau Dir mal z. B. f(x)=x³+x an! Widerlegt diese Funktion nicht Deinen Gedanken? Die 1. Ableitung, also die Steigung von f, ist f'(x)=2x²+1, d. h. sie ist immer positiv, d. h. die Steigung kommt von "+∞", findet ihren Tiefpunkt im Wendepunkt bei x=0 mit Steigung 1 und steigt dann wieder ins Plus-unendliche. Deine Überlegung stimmt "nur", wenn nach dem Wendepunkt noch Extremstellen kommen, denn das heißt ja, dass die Steigung Richtung Null wandert, um dann an der Extremstelle das Vorzeichen zu wechseln.
Tut mir leid, wenn ich da etwas penetrant wirke... :)
Stimmt, du hast Recht, danke! ;)
Die Grundidee ist ja, dass die Steigung bis zum Wendepunkt erst abnimmt, beziehungsweise zunimmt, um in Anschluss wieder größer bzw. kleiner zu werden. Das zeigt dein Beispiel auch sehr anschaulich. Ich habe bei meiner vorheringen Vermutung nicht daran gedacht, dass die Stelle (Steigung wird von kleiner zu größer) nicht zwingend die Steigung 0 haben muss.
Eine Frage habe ich noch zu deiner ursprünglichen Antwort. Du hast gesagt, dass die Wendestelle die Stelle mit der lokal größten Steigung ist. Aber das gilt doch nicht für alle Beispiele, oder? Bei deinem Beispiel ist die Wendestelle doch auch die Stelle mit der kleinsten Steigung der gesamten Funktion.
Übrigens freue ich mich sehr über deine Antworten! Ich bin ja froh, wenn mir jemand hilft ;)
Ups, da habe ich hinter "(lokal) am größten" den Teil "/kleinsten" vergessen...
Aber das "lokal" stimmt schon. Natürlich kann am Wendepunkt die größte/kleinste Steigung der gesamten Funktion sein, also "global extremste" Steigung, muss aber nicht.
Ist wie bei den lokalen/globalen Extremstellen: sollst Du den global größten/kleinsten Funktionswert bestimmen, musst Du neben den lokalen Extremstellen noch die Randwerte der Funktion prüfen! Das gleiche gilt für die Steigung.
Mit Hinblick auf die Ursprungsfunktion müsste das doch dann bedeuten, dass die zweite Ableitung Aussage darüber gibt, ob sich ein Punkt auf dem Graphen auf einer „Strecke“ mit positiver oder negativ werdender Steigung beziehungsweise einer „Rechts-, oder Linkskurve“ befindet, oder?
Genau das bedeutet das. Ist die 2. Ableitung größer null, befindet man sich in einer Linkskurve (gegen den Uhrzeigersinn). Daher auch das manchen seltsam anmutende Kriterium f''(x) > 0 -> Minimum. Analoges gilt für "2. Ableitung <0.
So ging es mir anfangs auch. Aber ich finde es irgendwie unbefriedigend, sich mit Merksätzen wie „Wenn die zweite Ableitung positiv ist, ist der Smiley positiv gestimmt und hat die Mundwinkel nach oben gestreckt“ zufrieden zu geben, ohne zumindest das Grundkonzept zu verstehen.
Danke für deine Hilfe!
Das ist vollkommen richtig.
ob sich ein Punkt auf dem Graphen auf einer „Strecke“ mit positiver oder negativ werdenderSteigung beziehungsweise einer „Rechts-, oder Linkskurve“ befindet, oder?
Genau dafür wird f''(x) auch genutzt . Ist f''(x) an der Stelle x > 0 liegt x dort in einer Linkskurve ( f(x) ist dort linksgekrümmt )
Oder man entscheidet mit f''(x) ob das gefundene Extremum xE ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist ( TP liegen in Linkskurven ...................einfachstes Beispiel : y = x² .....f''(x) = 2 )
.
Dort wo eine Links- von einer Rechtskurve ( und umgekehrt ) abgelöst wird , liegt ein Wendepunkt : f''(x) ist daher dort Null .
Hallo,
tut mir leid, falls ich das unverständlich ausgedrückt habe. Ich meinte, dass der Wendepunkt die Stelle ist, wo die Steigung anfängt, sich wieder dem positiven bzw. negativen anzunähern. (Dass das Vorzeichen bis zur nächsten Hoch/Tiefpunkt erstmal erhalten bleibt, hätte ich besser hinzufügen sollen)
Und Danke für deinen Tipp am Ende!