Dritte Ableitung gleich null trotz Wendepunkt?

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f'' = 0 ist lediglich eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt.

Nun musst du solange weiter ableiten, bist du eine Ableitung ungleich 0 hast.

In diesem Fall f''''(x) = 120x => f''''(0) = 0 (also weiter im Text)

f'''''(x) = 120 > 0 für alle x, also auch f'''''(0) = 120 > 0 .

Ist diese erste von null verschiedene Ableitung eine mit ungerader Nummer (hier die fünfte, dann hast du einen Wendepunkt), ist sie eine mit gerader Nummer, dann ist es KEIN Wendepunkt.

p.s. Diese Überlegungen folgen direkt aus dem Satz von Taylor (mit Restgliedabschätzung nach Lagrange).

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Vielen Dank, sehr verständlich erklärt und gleich noch einen Verweis auf den Satz von Taylor!

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wenn f ''' = 0 und dann eine ungerade Anzahl von "Strich" ungleich 0 ; dann hast du doch einen Wendepunkt; und f ''''' =120 also f hoch 5 strich ist ungleich 0

so kenne ich die Regel.

In diesem Fall (und vielen vergleichbaren) hilft folgende Überlegung:

  • f'(x) (hat nur gerade Potenzen ⇒ ) ist eine gerade Funktion und daher achensymmetrisch zur y-Achse.
  • Wie *alle bei x = 0 differenzierbaren und achsensymmetrischen Funktionen* hat f'(x) daher ein Extremum bei x = 0 (Warum? Hilfsfrage: Wenn der Differenzenquotient bei Näherung an x = 0 von links gegen a konvergiert, gegen was konvergiert er dann aufgrund der Symmetrie bei Näherung an x = 0 von rechts?)
  • Die Wendepunkte von f(x) sind genau die Extrema von f'(x). Also hat f(x) einen Wendepunkt bei x = 0.

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