Kann man mit der Unendlichkeit rechnen?

Rechnen Ja, aber in der Übertragung auf die physische Realität muss man aufpassen. Unendlichkeiten und Nullen sind häufig zu Extrem für die reelle Physik. Das hat z.B. bei der Definition des schwarzen Lochs eine Rolle gespielt. Rechnerisch kam man zu einer Größe von null und entsprechend einer Dichte von unendlich. Das konnte aber nicht sein, schon quantenmechanisch nicht. Tatsächlich sprechen die aktuelle Modelle auch dagegen.

Bisweilen sind Unendlichkeiten einfach nur Approximationen, etwa bei der Berechnung der Tropfenbildung. Die Auflösung der Approximation würde erzwingen, dass man das Wasser nicht als homogene Masse, sondern als Molekülhaufen berechnet - und das will man nicht. Aber ab einer gewissen Grenze muss man auf die Moleküle umswitchen.

Newton und Apfel ist wohl eine Legende.

Schönes Video zu diesem Thema:

Singularität: endlich gelöst? | Harald Lesch | Terra X Lesch & Co

In der Kardinal- und Ordinalzahl-Arithmetik wird mit nichts anderem gerechnet. Daher die Antwort auf Deine Frage: ja…

Ob sich das Konzept von Unendlichkeit allerdings auf die Natur übertragen lässt, ist fraglich. Physikalische Theorien brechen in der Regel zusammen, sobald Singularitäten ins Spiel kommen und sich diese nicht durch eine Koordinatentransformation o.Ä. wegtransformieren lassen (i.e. Schwarzes Loch, Renormierung in der Quantenfeldtheorie)

Ja, das kann man. Und das macht man auch - ständig in der Analysis und angewandt in allen Ingenieurwissenschaften. Ich weiß nur gerade nicht, worauf du hinaus willst.