Skirennläuferinnen absolvieren Trainingsfahrten auf einer eigens dafür präparierten Strecke. Die Trainerin legt den Schwerpunkt ihrer Analyse auf einen 240 m langen Streckenabschnitt vom Starthaus A bis zu einem Geländepunkt B. Mithilfe von Videoanalysen wird die von den Rennläuferinnen zurückgelegte Weglänge in Abhängigkeit von der Zeit ermittelt. Für eine bestimmte Trainingsfahrt einer Läuferin kann die Abhängigkeit des zurückgelegten Weges von der Zeit während der Fahrt von A nach B modellhaft durch die Funktion 𝑠 beschrieben werden. Die Läuferin verlässt zum Zeitpunkt 𝑡 = 0 das Starthaus.
𝑠(𝑡) = −1/144*t^4+8/3*t^2
Die Zeit 𝑡 wird in Sekunden gemessen. 𝑠(𝑡) gibt die bis zum Zeitpunkt 𝑡 zurückgelegte Weglänge in Metern an. In folgender Abbildung ist der Graph der Funktion 𝑠 dargestellt.
a) Um die Effektivität des Starts zu überprüfen, wird die mittlere Geschwindigkeit 𝑣̅ der Läuferin im Zeitintervall [0; 3] ermittelt.
Berechne die mittlere Geschwindigkeit 𝑣̅ der Läuferin in m/s.
Berechne die für die Fahrt von A nach B benötigte Zeit und die Geschwindigkeit zu jenem Zeitpunkt, wenn die Läuferin den Punkt B passiert.
b) Berechne denjenigen Zeitpunkt 𝑡1, für den 𝑠′′(𝑡1) = 0 gilt.
Interpretiere den Zeitpunkt 𝑡1 und das Krümmungsverhalten der Funktion 𝑠 im Hinblick auf die Fahrt der Rennläuferin von A nach B.
c) Berechne die Momentangeschwindigkeit der Läuferin zum Zeitpunkt 𝑡2 = 6.
Angenommen, die Geschwindigkeit der Rennläuferin bliebe ab dem Zeitpunkt 𝑡2 unverändert.
Gib an, nach wie vielen Sekunden ab dem Zeitpunkt 𝑡2 die Läuferin den Geländepunkt B erreichen würde.
