Differenzierbarkeit und Stetigkeit?
Hey, ich muss für die Uni folgende Aufgabe lösen:
Finden Sie eine Funktion f : R → R, die in 0 differenzierbar und in allen anderen Punkten unstetig ist. Beweisen Sie ihre Behauptung.
Kann mir jemand eine solche Funktion nenen? Ich weiß nicht genau, wie ich auf eine solche schließen kann.
Lg, Paul
2 Antworten
Die Unterscheidung zwischen rationalen und irrationalen Stellen ist ein guter Ansatz. Die Aufgabe erinnert an das Beispiel, dass f(x) = x für x rational und f(x) = 0 für x irrational nur in 0 stetig ist. In dem Fall ist die Funktion in 0 nicht differenzierbar, da für rationale x der Differntialquotient 1 ist und für irrationale 0. Daher muss man das Beispiel leicht modifizieren, sodass beim Term für x rational die Ableitung in 0 auch 0 ist, z.B. f(x) = x² für x rational.
Versuch mal: f(x) = Exp(-1/x^2) oder 0 mit Unterscheidung irrationale und rationale x; bin zur Zeit unterwegs und kann mir das nicht genau überlegen - die Funktion eignet sich aber häufig bei solch pathologischen Beispielen…