Wie berechne ich die momentane Geschwindigkeit in dieser Aufgabe?
Wie man aus dem Titel herauslesen kann bin ich mir unsicher, wie man die momentane Geschwindigkeit berechnet, in diesem Fall bei der Aufgabe 96/a.
Mir ist ebenfalls unklar, was das ,,z" genau ist und woher es kommt.
Danke für Antworten.
3 Antworten
Hallo,
z ist irgendeine Zahl, die Du für t einsetzt und die Du unendlich nah an den Wert von t herankommen läßt, dessen Ableitung Du suchst.
Die Steigung ist das Verhältnis von Höhenunterschied zu Weitenunterschied im Steigungsdreieck.
Nimm an, Du wählst für z den Wert 5. Dann ist f(5) der Funktion f(t)=0,6t²+2t gleich
0,6*25+10=25, während f(3)=5,4+6=11,4 ist.
Die Punkte (3|11,4) und (5|25), die auf dem Funktionsgraphen liegen, kannst Du nun mit einer Geraden verbinden, die die Funktion in diesen beiden Punkten schneidet und deren Steigung, also der Quotient von Höhenunterschied zu Weitenunterschied,
(25-11,4)/(5-3)=6,8 beträgt. Das ist der Tangens des Winkels, den diese Gerade mit der x-Achse bildet. Man nennt diesen Tangens die Steigung der Geraden.
Nun hat diese Gerade eine andere Steigung als die Funktion an der Stelle f(3), da sie die Funktion schneidet und sich nicht an sie an dieser Stelle anschmiegt.
Würdest Du nun einen Wert für z wählen, der näher an der 3 ist, etwa 4, kämst Du der Sache schon näher. Die neue Gerade hätte zwar auch noch eine andere Steigung als die Funktion bei t=3, käme dieser aber schon näher.
Du kämst jetzt auf (17,6-11,4)/(5-4)=6,2 und wärst dem tatsächlichen Wert schon näher. Diese 6,2 wäre hier die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen Sekunde 3 und Sekunde 4. Es ist klar, daß der Unterschied zwischen den zu zwei Zeiten gemessenen Geschwindigkeiten immer kleiner wird, je kleiner die Zeitunterschiede der Messungen sind. Selbst ein Formel-1-Wagen kann in einer Hundertstelsekunde nicht nennenswert beschleunigen. Je weniger Zeit zwischen den Messungen verrinnt, desto näher kommst Du also der momentanen Geschwindigkeit am ersten Meßpunkt.
Nimmst Du für z also t=3, fallen beide Messungen zusammen und die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Messungen ist gleich der Momentangeschwindigkeit. Die Gerade durch die beiden zu einem Punkt verschmolzenen Punkte ist nun keine Sekante mehr, sondern eine Tangente, die sich genau an der zu untersuchenden Stelle an den Funktionsgraphen anschmiegt. Problem ist nur: (f(3)-f(3))/(3-3)=0/0, ein nicht definiertes Ergebnis.
Du näherst Dich daher der 3 in kleinen Schritten und siehst, welchem Wert sich der Differenzenquotient annähert, wenn man sich der 3 bis auf einen winzigen Unterschied annähert, man sucht also den Grenzwert für z gegen t, hier: z gegen 3.
Einsetzen: (0,6z²+2z-11,4)/(z-3). Natürlich kannst Du hier für z keine 3 einsetzen, denn dann käme 0/0 heraus. Du kannst aber eine Polynomdivision machen:
Das ergibt, wenn Du 0,6z²+2z-11,4 durch z-3 teilst, 0,6z+3,8.
In diesen Ausdruck kannst Du die 3 für z einsetzen und bekommst als Momentangeschwindigkeit 5,6 m/s heraus. Das ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, nennt sich jetzt Differentialquotient oder Ableitung.
Der Trick bei diesen Aufgaben liegt immer darin, den Differenzenquotienten so umzuformen, daß man z gegen t gehen lassen kann, ohne daß 0/0 dabei herauskommt. Das erreicht man in der Regel durch eine Polynomdivision.
Herzliche Grüße,
Willy
(f(z) - f(t)) / (z - t) =
(0,6 * z² + 2 * z - (0,6 * t² + 2 * t)) / (z - t) =
(0,6 * z² + 2 * z - 0,6 * t² - 2 * t) / (z - t)
t = 3
(0,6 * z² + 2 * z - 0,6 * 3² - 2 * 3) / (z - 3) =
(0,6 * z² + 2 * z - 11,4) / (z - 3) =
(0,6 * z + 3,8) * (z - 3) / (z - 3) =
0,6 * z + 3,8
Jetzt den Grenzwert bilden:
lim(z→t) (0,6 * z + 3,8) = (0,6 * t + 3,8)
Für t = 3 ergibt das 0,6 * 3 + 3,8 = 5,6
Also beträgt die Momentangeschwindigkeit v = 5,6 m/s zum Zeitpunkt t = 3 s.
wow, danke, dass du den Vorgang geteilt hast das hilft wirklich weiter.
Das z innerhalb des Grenzwertes ist ein Wert, der "immer näher" an t heran rückt. Wie man sieht gehen dabei sowohl der Zähler als auch (verbotenerweise) der Nenner gegen 0. Wenn der Grenzwert existiert (und das ist z.B. bei den in der Aufgabe 94 benannten Funktionen sicher der Fall) dann stellt er eben die momentane Änderung im Punkt t dar (oder gerade die momentane Geschwindigkeit, denn die Geschwindigkeit ist die Änderung des Weges mit der Zeit).
Ihr solltet im Unterricht bereits Methoden gelernt haben solche Grenzwerte zu berechnen.