[Mathe] Genauigkeit einer Zeichnung + Frage zu F(-4) ≈ F(1)?
Guten Abend,
wie genau muss man die Zeichnung machen? Reicht es hier einfach im Abitur die Extremstellen und Nullstellen der Ableitungsfunktion an der richtigen Stelle (x-Wert) zu zeichnen (und natürlich muss es stimmen, ob sich die Funktion ober oder unter der x-Achse befindet)? Oder muss man immer das Lineal anlegen und die Steigung der Funktion f genau an mehreren Stellen ablesen, um die Ableitungsfunktion so genau wie möglich zu zeichnen? (Für die ganze Aufgabe mit 5 Punkten hat man rund 15 Minuten Zeit)
- Den zweiten Teil dieser Aufgabe verstehe ich noch nicht so wirklich, was das [[[[[„Nehmen Sie Stellung zu der folgenden Behauptung: Für jede Stammfunktion F von f gilt: F(-4) ≈ F(1).“]]]]] bedeutet. Wieso ergibt sich daraus wie man es im Lösungsvorschlag sehen kann für F(-4) die Fläche zwischen -4 und ≈ - 1,3 und für F(1) die Fläche zwischen ≈ - 1,3 und 1? Könnt ihr mir das bitte ganz genau erklären? Wie weiß ich in welche Richtung von beispielsweise F(1) die Fläche dann gemessen wird? Was bedeutet es allgemein wenn ich in F(x) einen Wert für x einsetze?
Aufgabe
Arbeitsblatt zur Aufgabe
Lösungsvorschlag
4 Antworten
Hallo,
ich finde deine Zeichnung in Ordnung. Der Wendepunkt zwischen x=2 und x=3 liegt zwar etwas weiter rechts, aber das ist gerade noch ok.
Zu der Behauptung mit den Stammfunktionen:
Stammfunktionen unterscheiden sich um eine additive Konstante C. Wenn jetzt für eine Stammfunktion gilt, das F(-4)=F(1) ist, gilt das für jede Stammfunktion, da auf beiden Seiten einfach C addiert wird.
Eine Stammfunktion F(x) ergibt das Integral von einer bestimmten unteren Grenze a bis x. Wenn a=-4 gewählt wird, ist F(-4)=0 und ebenfalls F(1)=0.
🤓
Die Behauptung F(-4)≈F(1) ist richtig.
Ich versuche, das über die Flächen von x=0 aus zu erklären.
Sei F(0)=0. Dann ist F(1)≈3.
F(-1,3)≈ -1,5 , da im II. Quadranten 1,5 Flächeneinheiten liegen. Da wir von x=0 nach links gehen, ist das Vorzeichen negativ.
Zwischen x=-4 und x≈-1,3 liegen ca. 4 Flächeneinheiten. Das Vorzeichen ist positiv, da wir nach links gegangen sind und die Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Minus minus --> Plus.
F(-4)≈4-1,5=2,5
Ganz grob gesehen sind beide Werte gleich.
F(1)-F(-4) ist der orientierte Flächeninhalt zwischen -4 und 1 zwischen dem Graphen von f und der x-Achse. Dabei zählt der Anteil unter der x-Achse negativ, der darüber positiv. Man kann aufgrund des gegebenen Graphen abschätzen, das beide Flächenstücke etwa gleich groß sind.
Da steht aber F(-4) ≈ F(1) und das hat mich verwirrt. Dann scheint das der „orientierte Flächeninhalt“ zu sein, wie du sagtest. Was bedeutet hierbei das „≈“? Es bedeutet doch das der Flächeninhalt gleich groß ist (ungefähr). Aber was fange ich einzeln mit F(-4) und F(1) an? Von wo wird dort der Flächeninhalt berechnet?
Da scheint der Anspruch der Aufgabe zu sein: F(1) = F(-4) zu übertragen auf F(1)-F(-4) = 0. Dann das einfach auf dem Graphen von f zu kotrollieren.
Mein Lehrer hätte dir sicherlich paar Punkte bei der Zeichnung abgezogen… denn man markiert Punkte in einem Koordinatensystem mit keinem Punkt und verbindet sie nicht von Punkt zu Punkt… sondern versucht es flüssiger zu zeichnen
wie genau muss man die Zeichnung machen?
Von mir gäbe es da die volle Punktzahl. Alle Spezialpunkte sind korrekt erkannt und gezeichnet und von der Qualität passt die Kurve genau..
Wieso ergibt sich daraus wie man es im Lösungsvorschlag sehen kann für F(-4) die Fläche zwischen -4 und ≈ - 1,3 und für F(1) die Fläche zwischen ≈ - 1,3 und 1?
Das ist nur eine mögliche Begründung, warum die ungefähr gleich groß sind. Da wird F(-4) ≈ F(1) umgeformt zu
F(-4) - F(1) = 0
Mit der weiteren Begründung habe ich aber auch so meine Probleme und kann sie vom Vorzeichen her nicht nachvollziehen.
Meine Argumentation würde ganz anders aussehen:
F(-4) ist die rote Fläche. Die ergibt ausgezählt:
F(-4) ≈ 1,3 - 3,5 = -2,2
F(1) ist die blaue Fläche. Die ergibt ausgezäht:
F(1) ≈ 3
Ergebnis: weder vom Betrag und erst recht nicht vom Absolutwert her ist die Aussage korrekt.
Eine weitere Betrachtung, welchen Einfluss die Integrationskonstante C auf die Aussage hat, erübrigt sich damit.
Ergänzun:
So sieht f(x) genähert aus (im Intervall -4 bis 0) und in rot ist der jeweilige zugehörige Funktionswert F(x) eingezeichnet:
Ahh, also ist F(1) immer die Fläche (zwischen Kurve und x-Achse) zwischen x = 0 und x = 1 und bei F(100) wäre es zwischen x = 0 und x = 100. Und bei F(-16) wäre es die Fläche zwischen x = -16 und x = 0. Stimmt das so?
Ich verstehe aber nicht wieso in offiziellen Musterprüfungen vom Kultusministerium dann die Lösung falsch ist. Dort steht doch das die Behauptung wahr ist.
Ich verstehe nichts mehr… 🤔
Man muss zwei Dinge unterscheiden, die bei der Aufgabe falsch unterschieden sind.
Das ist zum einen der Funktionswert der Stammfunktion F, bei dem Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ gerechnet werden.
Wenn man ausdrücklich die Größe der Flächen haben will, muss man das sagen, denn dann müssen die Beträge der Stammfunktion aufaddiert werden. Das ist wahrscheinlich bei der Aufgabe gemeint, ist aber falsch ausgedrückt, weil nicht nach der Fläche, sondern nach dem Funktionswert der Stammfunktion gefragt ist. Da hat das Kultusministerium ziemlich eindeutig Mist gebaut.
Der Funktionswert einer Stammfunktion ist immer die Summe aller Flächen zwischen y-ASchse, x-Achse und Graph der Funktion, wobei wie gesagt, Flächen oben plus und unten minus sind, wenn nicht ausdrücklich nach dem Bertrag der Flächen gefragt ist.
Guten Morgen 😃 Schau dir gerne mal an, was EdCent als Kommentar unter seiner Antwort auf meinen Kommentar geantwortet hat. Welche Variante ist jetzt die richtige? 🤔 https://www.gutefrage.net/frage/mathe-genauigkeit-einer-zeichnung--frage-zu-f-4--f1#answer-518932025
So, jetzt habe ich den ganzen Vormittag daran rumgerätselt. EdCent hat recht.
Mein Denkfehler: Flächen unter der x-Achse sind negativm also muss auch der Funktionswert bei einer unter der x-Achse liegenden Fläche negativ sein. Das ist aber nicht so.
Den Funktionswert erhält man nicht durch Auszählen der Kästchen und dann unterhalb der x- Achse ein Minus davor. Der Funktionswert ergibt sich im Prinzip aus F = ∆x * ∆y und wenn sowohl ∆x aös auch ∆y negativ sind, heben sich die beiden Minus gegenseitig auf und der Funktionswert wird positiv.
Dafür ist der Funktionswert für die Fläche zwischen -1,3 und 0 negativ, obwohl die Fläche selber über der x-Achse liegt. Das kommt daher, dass bei der Fläche das ∆y positiv, aber das ∆x negativ ist und multipliziert ergibt das einen negativen Funktionswert.
Habe mal die Kurve zwischen -4 und 0 angenähert und den Funktionswert des Integrals als rote Kurve automatisch einzeichnen lassen. Da wird das deutlicher....was ich übrigens bisher auch nicht so wusste bzw. wohl wieder vergessen hatte. Die Kurve findest du oben als Ergänzung.
Nehmen wir an ich habe die Funktion f(x) = x^3 + 3x^2 - 2 und ich möchte F(1) berechnen. Das könnte ich ja dann mit der Integralschreibweise machen und unten beim Integral 0 hinschreiben und oben beim Integral die 1, richtig? Bei der Berechnung für den Integralwert F(-1) (oder ist das direkt der Wert de Flächeninhalts? Oder der Integralwert? Wie nennt man den Wert, wenn ich etwas in F(x) einsetze?) könnte ich dann beim Integral unten die 0 hinschreiben und oben die -1, oder? Oder wie schreibt man das in der Integralschreibweise?
und ich möchte F(1) berechnen. Das könnte ich ja dann mit der Integralschreibweise machen und unten beim Integral 0 hinschreiben und oben beim Integral die 1, richtig?
nein, genau das war auch mein Denkfehler. Um den Funktionswert F(1) zu berechnen, setzt man einrfach x = 1 in die Stammfunktion ein. Das hat noch nichts mit einer Fläche zu tun.
Die Fläche erhält man durch das bestimmte Integral mit den Intervallgrenzen oben und unten. Und dann wird der Funktionswert der oberen Grenzen F(o) minus Funktionswert untere Grenze F(u) gerechnet. Erst das ergibt eine Fläche und erst durch das -F(u) kriegt die Fläche unter der x-Achse ihren negativen Wert her.
Bei dem Rechnen mit der Intervallschreibweise erhält man doch auch nicht immer die Fläche, sondern auch oft einen negativen Wert oder einen Wert aus zwei Flächen die unter und über der x-Achse liegen -> Integralwert. Aber dann scheint der Funktionswert bei einsetzen von x in F(x) etwas anderes zu sein als der Integralwert und etwas anderes wie der Flächeninhalt.
Ich glaube ich muss mir da irgendeine Übersicht erstellen wo sich nur die Berechnung unterscheidet (einmal mit F(x) und einmal mit der Integralschreibweise), um es besser zu verstehen.
Irgendwie verwirrt es mich noch ein bisschen.
Wenn zum Beispiel rechts neben der x-Achse die Fläche zwischen Kurve und x-Achse oberhalb der x-Achse liegt und ich in F(x) den wert x = 1 einsetze, erhalte ich doch auch den Flächeninhalt den ich erhalten würde, wenn ich ein Integral mit der unteren Grenze x = 0 und mit der oberen Grenze x = 1 berechnen würde, oder?
Irgendwie verwirrt es mich noch ein bisschen.
Ja, hat mich auch verwirrt.
Nochmal ne andere Betrachtungsweise: f(x) ist ja die Ableitung von F(x), gibt also die Steigung von F(x) an. Wenn f(x) negativ ist, muss F(x) in dem Bereich eine negative Steigung haben. Das ist z.B. auch dann der Fall, wenn man den linken Schenkel einer Parabel betrachtet. Der ist zwar positiv, aber seine Steigung ist negativ.
Ich verstehe es leider trotzdem noch nicht. In der Lösung wird doch das integral zwischen x = -4 und x = 1 berechnet. Aber wieso? Man soll ja zeigen, dass F(-4) ungefähr gleich groß ist wie F(1). Wie kann man das damit zeigen? Mit dem Integral berechnet man doch den Integralwert in diesem Intervall. Wie zeigt man das F(1) gleich groß ist (ungefähr) wie F(-4)?