Mathe Abi Aufgaben lösen?

1) Beurteilen Sie mithilfe von Material 1 die folgende Aussage:

Für 2 ≤ t ≤ 6 ändert sich beim Graphen jeder Stammfunktion G von g genau einmal das Krümmungsverhalten.

 g(t) t * e^(1-0,25t) 

Material 1 ist lediglich der Graph von

f a(t) = a *t*e^(-0,25t)

2)Ermitteln Sie mithilfe eines geeigneten Formansatzes eine Stammfunktion G von g.

[zur Kontrolle: G(t) = -4*(t+4) *  e¹-0,25*t ist die Funktionsgleichung einer möglichen Stammfunktion von g.]

3) Zeigen Sie, dass der Inhalt der Fläche, die der Graph von g im Intervall t ≥ 0 mit der t-Achse einschließt, endlich ist. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir bei diesen Aufgaben helfen, wenn ich ehrlich bin ich sitze stumm vor dem Aufgaben und habe keine Ahnung wie genau ich die machen soll....

Bitte kann mir jemand da ganz schnell helfen??

Answer 1

[Pablo100]

1. Die Aussage ist aufgrund des gegebenen Graphen von f a(t) = a * t * e^(-0,25t) nicht korrekt. Bei diesem Graph ändert sich das Krümmungsverhalten an mehreren Stellen im gegebenen Intervall für 2 ≤ t ≤ 6.
2. Eine Stammfunktion G von g kann mithilfe des Fundamentalsatzes der Differentialrechnung ermittelt werden. Wir können G(t) = ∫g(t) dt bestimmen. Nach der Substitution u = 1 - 0,25t und du = -0,25 dt erhalten wir: G(t) = -4 * ∫(t + 4) * e^u du. Nach Integration nach u erhalten wir: G(t) = -4 * (t + 4) * e^u + C, wobei C die Konstante der Integration ist.
3. Um zu zeigen, dass der Inhalt der Fläche, die der Graph von g im Intervall t ≥ 0 mit der t-Achse einschließt, endlich ist, müssen wir zeigen, dass die Funktion g(t) für t ≥ 0 beschränkt ist. Dies können wir anhand des gegebenen Definitionsbereichs von g und des Verhaltens von e^t im positiven Bereich zeigen. Da g(t) = t * e^(1-0,25t) und e^t für t ≥ 0 monoton wachsend ist, ist auch g(t) im Intervall t ≥ 0 monoton wachsend. Da der Definitionsbereich von g im Intervall t ≥ 0 beschränkt ist, ist auch g(t) im Intervall t ≥ 0 beschränkt.

Um den Inhalt der Fläche zu bestimmen, können wir die Fläche unter dem Graph von g im Intervall t ≥ 0 als Grenzwert von Flächen unter Riemann-Sums berechnen. Wir können zum Beispiel die Fläche unter dem Graph von g im Intervall t ∈ [0, 6] als Grenzwert von Flächen unter Riemann-Sums mit festen Schrittweiten h berechnen. Wir erhalten:

Fläche = lim h->0 Σ[g(ti) * h]

= lim h->0 Σ[ti * e^(1-0,25ti) * h]

= lim h->0 Σ[(i * h) * e^(1 - 0,25 * i * h)]

= lim h->0 Σ[i * e^(1 - 0,25 * i * h)]

= lim h->0 Σ[i * e^(1 - 0,25 * i * h)]

= lim h->0 Σ[i * e^(1 - 0,25 * i * h)]