Partielle Differenzierbarkeit in alle Richtungen?
Hallo,
Folgende Funktion:
Hierbei betrachtet man immer die Stelle (0,0). Dabei ist die Funktion stetig und besitzt die partiellen Ableitungen in Koordinatenachsenrichtung.
Ich verstehe aber nicht ganz warum es hier keine partiellen Ableitungen in beliebige Richtungen in (0,0) gibt?
Um das zu prüfen wäre ich so vorgegangen:
Wobei v = (v1,v2) einfach ein Vektor beliebiger Richtung ist.
Wo liegt mein Fehler?
1 Antwort
Du hast das h bei dem Ausdruck im Nenner falsch rausgezogen. Es gilt sqrt(h^2) = |h|, nicht h.
Somit existiert der Grenzwert nicht, wenn h gegen 0 geht, da der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich sind.
Ah perfekt, das macht natürlich Sinn! Kann ich dir vielleicht noch eine andere Frage stellen zum Thema Definition stetige Differentierbarkeit? Angenommen man hat eine stetig ergänzbare Funktion wieder R2->R (kritische Stelle (0,0)). Sagen wir partielle Ableitungen existieren und nun überprüft man diese auf Stetigkeit. Müssen diese Ableitungen dann zwingend 0 ergeben im Punkt (0,0), dass man von stetiger Differenzierbarkeit sprechen kann?
Und eine komplett andere Frage, im Allgemeinen müssen partielle Ableitungen in einem Punkt (x,y) nicht gleich sein, wenn es sich um eine stetig Differenzierbarkeit Funktion handelt oder?
Danke im Voraus!
Ich meine die partiellen Ableitungen in Koordinatenachsenrichtung