Anwendungsaufgabe: Maximum ermitteln - Wer kann weiterhelfen?

Hey Leute, ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe, die ich hochgeladen habe als Bild.

Also ich weiß auf jeden Fall schon mal dass man das Maximum mit der 1. Ableitung bilden muss, in dem man die 1. Ableitung = 0 setzt.

Aber ich weiß nicht wie man anfangen soll.

Vielen Dank.

Answer 1

[Crimvael]

1. Variablen definieren und Skizze anpassen
2. Volumenfunktion aufstellen
3. Ableitungen bilden und Maximum bestimmen
4. Optimale Maße berechnen
5. Maximales Volumen

Damit findest du eventuell deinen Weg.

Comments

[plasf3456]

Ich bräuchte nochmal Hilfe beim 2. Schritt. Wie lautet die Volumenfunktion richtig?

[Crimvael]

@plasf3456

V (x) = (50 – x)(30 – 2x) • x

ausmultipliziert

V (x) = 4x³ – 160x² + 1500x

a = 50 – 2x

b = 30 – 2x

c = x

Answer 2

[Hamburger02]

Solche Optimierungsaufgaben /Extremwertaufgaben) kann man immer nach demselben Schema lösen:

(1) Zielfunktion (Hauptbedingung) aufstellen:

V = a * b * c

(2) Nebenbedingungen formulieren:
2c + 2a = 50
2c + b = 30

(3) Nebenbedingungen so umformen, dass man sie in die Zielfunktion einsetzen kann und die nur noch eine Variable hat:

2a = 50 - 2c
a = 25 - c

b = 30 - 2c

(4) in die Zielfunktion einsetzen:

V = (25 - c) * (30 - 2c) * c

(5) Zielfunktion in ein Polynom umformen (hier durch Klammern ausrechnen):

V = (750 - 30c - 50c + 2c^2) * c
V = (2c^2 - 80c + 750) * c
V = 2c^3 - 80c^2 + 750c

(6) Ableitung bilden:

V' = 6c^2 - 160c + 750

(7) zu 0 setzen und mit Mitternachtsformel ausrechnen:

6c^2 - 160c + 750 = 0

Die Lösung mit c = 20,6 cm können wir verwerfen, die macht keinen Sinn. Das ist die Abmessung, um ein möglichst kleiens Volumen (Tiefpunkt) zu erhalten.

Wir rechnen mit c = 6,1 cm weiter:

(8) restliche Variablen ausrechnen:

a = 25 - 6,1 = 18,9 cm

b = 30 - 2*6,1 = 17,8 cm

...fertig. Das Ergebnis wirkt auch plausibel.

Nicht verlangt: Maximum der Zielfunktion angeben:
V = 18,9 * 17,8 * 6,1 cm^3 = 2052,16 cm^2 = 2,05 l