Differenzialgleichung zum ausrechnen des Alters?
Hallo! Ich stecke bei dieser Aufgabe.
Es wurde ein Fund eines Artefakts gemacht. In einer Probe ist das Verhältnis von 14C, mit einer Halbwertszeit von 5750 Jahren, zu 12C (Isotop) herausgefunden worden. Dieses beträgt 3% des vorherigen Verhältnisses. Wie alt ist das Artefakt?
Das Thema ist Differenzialgleichungen also sollte die Lösung dies enthalten.
Kann mir jemand helfen?
Die Lösung sollte sein 28900 Jahre.
2 Antworten
Da gehts nicht um Differnetialgleichungen, sondern um Exponentialgleichungen.
Ansatz:
N(n) = No * 0,5^n
N(n) = Aktivität nach n Halbwertszeiten
No = Aktivität zu Beginn
n = Anzahl Halbwertszeiten
Da es um das Verhältnis geht, dividieren wir durch No:
N(n) / No = 0,03 = 0,5^n
und bilden den Lograithmus, um die Hochzahl runterzukriegen:
log 0,03 = log 0,5^n = n * log 0,5
n = log 0,03 / log 0,5 = 5,059
Wir haben also 5,059 Halbwertszeiten hinter uns und das sind in Jahren:
t = 5,059 * 5750 Jahre = 29.089 Jahre
Die Differenz zur Musterlösung steckt irgendow in den Rundungen. Aber man soll der C14-Methode auch nicht mehr Genauigkeit unterstellen, als sie haben kann. Mit der Angaben von "rund 29 tausend Jahre" liegt man gut.
Das ist keine DGL, weil die Ableitung von n gar nicht vorkommt. Das ist eine Exponentialgleichung, weil die Variable n im Exponenten steht.
Natürlich braucht man keine DGL mehr, wenn man direkt bei der Lösung der DGL anfängt ;)
Was habt ihr bloß mit euren Differenzialgleichungen?
Definition: Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält.
Wo soll denn in der Gleichung für den Zerfall eine Ableitung vorkommen????
Ich weiß, was eine DGL ist. Die Zerfallsgleichung ist die Lösung der DGL dn(t)/dt = a • n(t). Aber wie gesagt, wenn du sie direkt als gegeben ansiehst, sparst du dir natürlich die Herleitung über die DGL.
Muss (kann?) man hier überhaupt eine Differenzialgleichung nehmen?
Ich würde einfach schauen, nach wievielen Halbwertszeiten nur noch 3% übrig sind:
Die das ¹⁴C ist also nach ca. 5,06 Halbwertszeiten, d.h. etwa 29.095 Jahren auf 3% des ursprünglichen Wertes zurückgegangen. Wenn ich erst nach der Multiplikation mit der Dauer der Halbwertszeit runde, was ich normalerweise immer mache, komme ich auf einen Wert von knapp 29.089 Jahren. Die Differenz zu deiner Lösung ergibt sich vermutlich durch eine andere Rundung irgendwo in der Aufgabe. (Ich finde auch eine leicht abweichende Halbwertszeit für das C-14, aber es geht ja hier primär um den Rechenweg.)
ETA: Mist, ich sehe gerade, dass während ich getippt habe schon eine Lösung gepostet wurde, und du das schon geklärt hast.
Naja, ich lasse meine Antwort trotzdem mal stehen.
Muss (kann?) man hier überhaupt eine Differenzialgleichung nehmen?
Die "formale" Herleitung ist über eine DGL.
Wir gehen davon aus, dass die Änderungsrate unseres Teilchenbestandes dn(t)/dt proportional zu unserem Teilchenbestand n(t) ist, also dn(t)/dt = a • n(t).
Damit kommt man mit TdV dann auf:
a dt = 1/n(t) dn(t)
a • t + b = ln(n(t))
n(t) = exp(a • t) • exp(b) = exp(a • t) • c
Mit Randbedingungen n(t=0) = n_0 und n(t=5750) = n(t=0)/2 kommt man dann auf die gesuchte Gleichung n(t) für den Teilchenbestand zum Zeitpunkt t.
Das wäre auch eine Antwort wert gewesen statt nur eines Kommentars. Den genauen, vollständigen Wortlaut der Aufgabe haben wir vermutlich nicht. Wenn die Halbwertszeit schon ins Spiel gebracht wird, mag auch ein direkter Exponentialansatz erlaubt sein.
Vielen Dank ich hatte vermutet dass es auf sowas rausläuft konnte aber beim besten Willen die DGL nicht finden