Wie kann ich Stetigkeit zeigen ohne dass Epsilon direkt von Delta abhängt?

Hi,

mir ist es schon ein bisschen peinlich danach zu fragen, aber habe gernerell ein kleines Verständnisproblem beim Beweisen von (gleichm.) Stetigkeit. Ich verstehe noch nicht so ganz wie ich zunächst Epsilon einfach nur so defineren darf, dass es größer als Null ist (also überhaupt existiert) und mir dann ein Delta hernehmen darf, welches gar nicht in Abhängigkeit des Epsilons gewählt wurde um letztendlich damit zu zeigen, dass das Epsilon genau größer als Null ist.

Ich glaube ich habe irgendetwas sehr wichtiges falsch in Erinnerung, weshalb ich euch fragen wollte, was genau.

LG:)

Answer 1

[MitFrage]

Schau dir nochmal die genaue Definition an und versuche mal, sie in Worte zu fassen und sie nicht nur mit logischen Symbolen aufzuschreiben. Es geht nicht darum, dass man ein epsilon wäht, dann ein delta und dann zeigt, dass es das epsilon gibt.

Sondern es geht eher darum, dass es für alle epsilon ein delta mit einer bestimmten Eigenschaft geben soll.

Vielleicht noch als Tipp: | a - b | ist der Abstand zwischen a und b. Es geht bei der epsilon-delta-Definition darum, dass man Abstände abschätzen kann.

Answer 2

[Willibergi]

Schauen wir uns nochmal die Definition an, was es heißt, wenn eine Funktion f mit Definitionsbereich D an der Stelle a stetig ist:

$\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in D:\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right|<\varepsilon$

Für alle Epsilon > 0 gibt es ein Delta > 0, sodass für alle x im Definitionsbereich, die von a höchstens den Abstand Delta haben gilt, dass der Funktionswert von x vom Funktionswert von a höchstens den Abstand Epsilon hat.

Informeller: Egal welches Epsilon > 0 ich dir gebe, du kannst mir sagen, wie groß der Abstand von x und a höchstens sein darf (das ist das Delta), sodass der Abstand von f(x) und f(a) kleiner als dieses Epsilon ist.

Epsilon hängt nicht von Delta ab, sondern Delta von Epsilon, und zwar immer! Im Falle von gleichmäßiger Stetigkeit nur von Epsilon, im Falle von nicht-gleichmäßiger Stetigkeit von Epsilon und dem betrachteten Punkt a.

Epsilon ist ja zunächst nur irgendeine positive Zahl. Und falls die Funktion stetig (an der Stelle a) ist, genau dann gibt es ein Delta, abhängig von Epsilon, das die geforderten Eigenschaften erfüllt.

um letztendlich damit zu zeigen, dass das Epsilon genau größer als Null ist.

Nein. Das ist die Voraussetzung. Du zeigst, dass es ein Delta gibt, mit dem die Implikation wahr ist.