Profi Mathe Aufgabe(Mathematik-Olympiade Klasse 9-10)?

Gegeben ist die lineare Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = 3x + 7. Aus den Werten von f werden die Werte von z mit z = f(a) + f(a +1) + f(2a+3)berechnet.

Hinweis Zum Beispiel bedeutet f(8a - 4), dass man 8a - 4 in das Argument von f einsetzen muss. Also f(8a-4) = 3 * (8a-4) +7 = 24a -5.

a) Bestimmen Sie einen Term für z in Abhängigkeit von a, der das Symbol f nicht mehr enthält.

b) Gibt es eine natürliche Zahl a, für die z= 10²⁰²¹ gilt?

c) Gibt es eine natürliche Zahl a, für die z durch 2021 teilbar ist ?

d) Gibt es eine natürliche Zahl a, für die z (im üblichen Zehnersystem) eine 2021-stellige Zahl mit 2021 gleichen Ziffern ist?

Answer 1

[Hamburger02]

a)

f(a) = 3a + 7
f(a+1) = 3(a+1) + 7 = 3a + 3 + 7 = 3a + 10
f(2a+3) = 3(2a + 3) + 7 = 6a + 9 + 7 = 6a + 16

z = 3a + 7 + 3a + 10 + 6a + 16
z = 12a + 33

d)

Das wäre meine Idee, von der ich aber nicht sicher bin, ob sie korrekt ist:

Für z gibt es genau 9 Möglichkeiten:
1111.....1111
2222....2222
....
9999...9999

oder anders ausgedrückt:
$z\ =\ \sum_{i\ =\ 0}^{2020}\left(n\cdot10hoch\ i\right)$

Da zu 12a am Ende 33 addiert werden, gibt es für 12a nur 7 Möglichkeiten:

3333...3300
4444...4411
5555...5522
....
9999...9966

Diese Zahlen für 12a lassen sich ausdrücken als:
nnnn...nn * 100 + (n-3)*11

wobei die nnnn...nn insgesamt 2021 -2 = 2019 mal hinterienander stehen.

Das lässt sich ausdrücken als:

$12a\ =\ 100\cdot\sum_{i=0}^{2018}\left(n\cdot10hochi\right)\ +\ 11\left(n-3\right)$

mit 3 ≤ n ≤ 9

$a\ =\ \frac{100}{12}\cdot\sum_{i\ =\ 0}^{2019}\left(n\ \cdot\ 10hoch\ i\right)\ +\ \frac{11}{12}\left(n\ -\ 3\right)$

$a=\ \frac{25}{3}\sum_{i=0}^{2019}\left(n\cdot10hoch\ i\right)\ +\ \frac{11}{12}\left(n\ -\ 3\right)$

Nun gilt:
Addiert man zwei natürliche Zahlen, ergibt das wieder eine natürlich Zahl.

Die nächste Frage ist also: ist die Summe

$\sum_{i=0}^{2018}\left(n\cdot10hoch\ i\right)$

durch 3 teilbar? Das ist sie, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Also bilde ich die Quersumme Q:
Q = 2018 * n
Da 2018 nicht durch 3 teilbar ist, muss n durch 3 teilbar sein. Das wäre nur für 3, 6 und 9 der Fall.

Da der erste Term für {3; 6; 9} eine natürliche Zahl ist und a ebenfalls eine natürliche Zahl sein soll, soll auch der zweite Term

$\frac{11\left(n\ -\ 3\right)}{12}$ eine natürliche Zahl sein. Das probieren wir einfach mal durch:

n = 3 ergibt 0/12 = 0 und das ist ist eine natürliche Zahl
n = 6 ergibt 33/12 und das ist ist keine natürliche Zahl
n = 9 ergibt 66/12 und das ist ist keine natürliche Zahl

Ergebnis: für n = 3 wird der Bruch zu Null und damit gibt es eine natürliche Zahl a mit:

$a\ =\ \frac{25}{3}\cdot\sum_{i=0}^{2018}\left(3\cdot10hoch\ i\right)$

für die es eine Lösung gibt, die lautet:

$z\ =\ \sum_{i\ =\ 0}^{2020}\left(3\ \cdot\ 10hoch\ i\right)$

Comments

[Hamburger02]

Soeben stelle ich fest, dass mir doch ein Denkfehller unterlaufen ist, da ich die 0 als natürliche Zahl nicht berücksichtigt habe. Daher habe ich das ganze nochmal überarbeitet und die Lösung gefunden.

Answer 2

[shabo90]

Für a) steht schon im Hinweis was du zu tun hast. Z besteht aus der Summe der Funktion f(x)= 3x + 7

z = f(a) + f(a +1) + f(2a+3)

Für f(a) setzt du ein 3a + 7

Für f(a +1) setzt du ein 3(a+1) + 7

Usw.

Alle 3 dann zusammenfassen und du hast a) gelöst.

Und das ist die Grundlage für alle anderen Aufgaben!

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 3

[Majobogense]

in der Anfangsgleichung gibt es kein z.

Also kann ich nichts nach z auflösen.

Dafür solltest Du Dinen Lehrer verklagen.

Ansonsten.. 3 Gleichungn mit 3 Unbekannnnzen. Mache ich Dir sofort.

Mario

Comments

[Mohammed647]

Es wäre am meisten hilfreich bei der Aufgabe d, weil ich nicht verstehe was man dort überhaupt machen muss. Aber vielen Dank im voraus