Mathe Rätsel zu Teilbarkeitsregeln?
Eine Schüleraufgabe der 6. Klasse lautet:
gib eine 10-stellige Zahl an, die alle Ziffern von 0 bis 9 einmal enthält und die durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 und 10 teilbar ist. (alle Zahlen außer der 7).
Der Schüler hat eine richtige Zahl angegeben. Jetzt diskutiert die erwachsene Verwandtschaft wie die generelle Lösungsformel lautet.
liege ich korrekt? Man kann für die beiden letzten Stellen beliebige der genannten Zahlen auswählen, wobei die Multiplikation dieser beiden Ziffern mindestens ein 2-stelliges Ergebnis haben muss. Mit den übrigen, noch offenen Zahlen, füllt man die Stellen davor beliebig auf und fügt noch eine Null an der 2. oder einer höheren Stelle hinzu.
korrekt? Falls nein, wie dann?
Danke
5 Antworten
liege ich korrekt? Man kann für die beiden letzten Stellen beliebige der genannten Zahlen auswählen, wobei ...
Du liegst falsch. Alleine schon deshalb, da die Zahl durch 10 teilbar sein soll, muss die letzte Ziffer zwingend eine 0 sein.
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Die 10-stellige Zahl soll jede der Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 einmal enthalten. Damit ist die Quersumme...
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
Da die Quersumme 45 durch 3 bzw. 9 teilbar ist, ist eine entsprechende Zahl in jedem Fall durch 3 bzw. 9 teilbar.
Da die Zahl durch 10 teilbar sein soll, muss die letzte Ziffer eine 0 sein.
Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die letzten 8 Stellen durch 8 teilbar sind. Nun kann man alle 3-stelligen Vielfachen von 8 durchgehen und dabei diejenigen Möglichkeiten streichen, bei denen eine Ziffer doppelt oder dreifach vorkommt. Bzw. da die Zahl zusätzlich noch durch 10 teilbar sein soll, kann man sich wegen kgV(8, 10) = 40 (und da 40 ein Teiler von 10³ ist) auf die Vielfachen von 40 beschränken. Damit bleiben folgende Möglichkeiten für die letzen 3 Stellen der Zahl.
120
160
240
280
320
360
480
520
560
640
680
720
760
840
920
960
Durch 10 teilbare Zahlen sind auch durch 5 und durch 2 teilbar, so dass Teilbarkeit durch 5 und 2 keine weiteren Einschränkungen liefert.
Durch 2 und zugleich durch 3 teilbare Zahlen sind auch durch 6 teilbar, so dass Teilbarkeit durch 6 keine weiteren Einschränkungen liefert.
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Um nun eine entsprechende Zahl zu finden, kann man sich einfach eine der Möglichkeiten...
120
160
240
280
320
360
480
520
560
640
680
720
760
840
920
960
... für die letzen drei Ziffern aussuchen, und die Stellen davor mit den restlichen der Ziffern von 0 bis 9 auffüllen, so dass jede der Ziffern 0 bis 9 einmal vorkommt.
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Es gibt übrigens 80640 solcher Zahlen.
Ja, wenn die Zahl zusätzlich noch durch 7 teilbar sein soll, erschwert das die Sache etwas. Denn für die Teilbarkeit durch 7 hat man keine so schön einfache Teilbarkeitsregel, welche man hier verwenden könnte. Es gibt zwar eine Teilbarkeitsregel mit der alternierenden 3er-Quersumme, welche ich aber nicht so einfach dafür verwenden kann, eine einfachen Weg zu beschreiben, alle entsprechenden Zahlen zu konstruieren.
Am einfachsten wäre es vielleicht einfach die Zahlen zu verwenden, die man vorher bereits ohne Betrachtung der Teilbarkeit durch 7 erhalten hat, und jeweils zu prüfen, ob die Zahlen dann auch noch durch 7 teilbar sind.
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Bzw. ist die Teilbarkeit durch 7 nur deshalb problematisch, da zusätzlich noch jede der Ziffern von 0 bis 9 einmal vorkommen sollen. Ohne diese Forderung wäre es recht einfach die Zahlen zu finden, die durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10 teilbar sind. Denn wegen kgV(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 2520 wären dies einfach alle Vielfachen von 2520.
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Hier habe ich übrigens mal eine Liste aller 10-stelliger Zahlen erstellt, die jede der Ziffern von 0 bis 9 jeweils einmal enthalten und die durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10 teilbar sind: https://pastebin.com/ehRWyd8f
Sie muss durch 10 teilbar sein: letzte Ziffer ist die 0
Sie muss durch 8 teilbar sein: die drittletzte und vorletzte Ziffer zusammen sind durch 4 teilbar, zusammen mit der 0 am Schluss sind die letzen 3 Ziffern durch 8 teilbar und damit die ganze Zahl, denn 1000:8=125
Sie muss durch 9 teilbar sein: ist sie, weil die Quersumme durch 9 teilbar ist
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
Wenn sie durch 10 teilbar ist, ist sie auch durch 5 teilbar
Wenn sie durch 9 teilbar ist, ist sie auch durch 3 teilbar
Wenn sie durch 8 teilbar ist, ist sie auch durch 4 und durch 2 teilbar
Wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist, ist sie auch durch 6 teilbar.
Ein Beispiel: 1356789240
danke! In der Aufgabenstellung fehlte allerdings die 7. Dann stimmt es mit der Quersumme nicht mehr.
Klingt falsch. Die letzte Ziffer muss eine 0 sein. Die Zahl die aus den letzten drei Ziffern besteht, muss durch 8 teilbar sein. Die restlichen Ziffern können dann beliebig gewählt werden.
Danke! klingt gut. Kannst du das bitte erklären? Warum 8?
Damit die komplette Zahl durch 8 teilbar ist. Siehe Teilbarkeitsregel mit der 8. Damit ist die Zahl auch automatisch durch 4 teilbar. Durch 3 und 9 ist die Zahl immer teilbar, wenn sie aus den Ziffern 0-9 besteht. Da sie durch 2 und 3 teilbar ist, ist sie auch durch 6 teilbar. Und durch 5 ist sie teilbar, weil sie am Ende eine 0 hat.
danke! klingt noch besser!
Wie entsteht deine Annahme zu 3 und 9 aus den Teilbarkeitsregeln?
Man kann für die beiden letzten Stellen beliebige der genannten Zahlen auswählen
Entweder verstehe ich das falsch oder das stimmt nicht. Zumindest die letzte Ziffer steht fest. Sie muss eine 0 sein, denn sonst ist die Zahl nicht durch 10 teilbar.
Deinen Verwandten verstehe ich auch nicht. Warum hat er es dir nicht erklärt?
...weil das alles nicht persönlich sondern über hunderte Kilometer hinweg per Messenger passiert.
Schau mal bei mihisu. Der hat das auch heraus gefunden, aber dafür gut begründet. Das liegt an der Teilbarkeit durch 8.
Eine Null an zweiter Stelle ergibt keine durch zehn teilbare Zahl.
Die „erwachsene Verwandtschaft“ sollte mal die Teilungsregeln üben. Wann sind Zahlen durch zehn, 9, 8, 6, 5, 4, 3 und 2 teilbar?
ganz herzlichen Dank! In der Aufgabenstellung fehlte allerdings die 7 und dann stimmt es nicht mehr mit der teilbarkeit durch 9.