Kombinatorik Obstsalat Matheaufgabe, kann mir jemand helfen?
Hallo, ich habe folgende Aufgabe, die ich leider nicht gelöst bekomme. Kann mir jemand helfen?
Aus Äpfeln, Orangen und Bananen soll ein Obstsalat gemacht werden. Dabei sollen genau 10 Früchte verwendet werden, aber von jeder Sorte höchstens 5. Wie viele verschiedene Obstsalate sind auf diese Weise möglich?
Würde mich freuen über eine Lösung mit Erklärung.
Mit freundlichen Grüßen
Marius
Muss von jeder Sorte Frucht mindestens eine verwendet werden oder ist ein Obsfsalat mit z.B. 5 Äpfeln und 5 Bananen auch zulässig?
Ich würde sagen es soll mindestens von jeder Obstsorte 1 vorhanden sein. Aber das mit den 5 und 5 von nur 2 Obstsorten gibt es nur 3 Möglichkeiten, man kann das abziehen.
1 Antwort
Da es sich um überschaubare Größen handelt, können wir die Varianten einfach durchprobieren.
Es dürfen 1 bis 5 Äpfel sein, und 1 bis 5 Orangen. Die Anzahl der Bananen ergibt sich dann automatisch.
Es sind aber nicht 25 Möglichkeiten, denn die Anzahl der Bananen muss ja auch zwischen 1 und 5 liegen.
Sei A die Anzahl der Äpfel, O die Anzahl der Orangen und B die Anzahl der Bananen.
A liegt zwischen 1 und 5.
Es muss O >= 5 - A sein, dann ist A + O >= 5 und B <= 5.
Es muss auch O <= 9 - A sein, dann ist A + O <= 9 und B >= 1.
Es muss natürlich auch 1 <= O <= 5 sein.
Also:
A = 1 -> O = 4 oder 5.
A = 2 -> O = 3, 4 oder 5.
A = 3 -> O = 2, 3, 4 oder 5.
A = 4 -> O = 1, 2, 3, 4 oder 5.
A = 5 -> O = 1, 2, 3 oder 4.
Das sind 18 Möglichkeiten.
Mehr als 25 können es nicht werden.
Ich hatte zunächst die Hoffnung, einen einfachen Zusammenhang zu finden. Aber bei A = 5 schlägt ja schon B > 0 dazwischen.
Wenn man jetzt mit 50 (statt 5) und 100 (statt 10) arbeiten würde, müsste man schon etwas schärfer darüber nachdenken. Aber wir sind ja hier nicht bei der Matheolympiade 😉.
Es können schon mehr über 25 werden, wenn man die 2 Einschränkungen weglassen würde, also eine Obstsorte kann bis 10 vorkommen, also 0<=O<=10, 0<=B<=10, 0<=A<=10, A+B+C=10
Das scheint richtig zu sein, danke für deine Antwort. Ich bin selbst alle Möglichkeiten gerade manuell durchgegangen. Ich frage mich ob es einen einfacheren Weg mit dem Binomialkoeffizienten gibt (weil es im Lehrbuch um ihn es geht, also Kombination zur k-ten Klasse ohne Wiederholungen und mit Wiederholungen und Permutationen mit Identifikationen usw.). Deshalb dachte ich, man soll diese Aufgabe mit den Binomialkoeffizienten lösen und manuell nachzählen. Insgesamt (ohne die Einschränkung von maximal 5 und mindestens 1) gibt es 66 Möglichkeiten (mit der Formel (k+n-1 "über" k).