Produktformel Binomialkoeffizient?

Ich bin grad in meinem Skript auf folgende Formel für den Binomialkoeffizienten gestoßen:

Allerdings kann ich mir nicht erklären wie die zu Stande kommt, zumal die Produktformel des Binomialkoeffizienten auf Wikipedia eine andere ist. Kann mir jemand das erklären?

Answer 1

[evtldocha]

zumal die Produktformel des Binomialkoeffizienten auf Wikipedia eine andere ist

Das ist nicht der Fall.

Mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation im Blick ergibt sich in obiger Formel aus Deiner Frage im Nenner für m=1 bis k das Produkt k·(k-1)·...·2·1 so:

m=1: k
m=2: k-1
...
m=k-1: 2
m=k: 1

Das kann man natürlich auch als 1·2·...·(k-1)·k schreiben und ist damit bei der Form wie sie auf Wikipedia steht.

Zum zweiten Teil Deiner Frage folgender Hinweis:

$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=\frac{n\cdot\left(n-1\right)\cdot...\cdot\left(n-k+1\right)\cdot\left(n-k\right)\cdot\left(n-k-1\right)\cdot...\cdot2\cdot1}{\left(n-k\right)\cdot\left(n-k-1\right)\cdot...\cdot2\cdot1}$

Jetzt kürze und schreib den Rest als Produkt, dann hast Du den Zähler der Formel.

Answer 2

[eterneladam]

Da musst du nur mal scharf hinschauen, welche Zahlen für m= 1 ... k in Zähler und Nenner stehen, dann siehst du, dass das auf das Gleiche hinausläuft wie bei Wikipedia. Diese Übung solltest du dir von niemandem abnehmen lassen.