Bonferroni-Ungleichung herleiten?

Hallo, ich hätte eine Frage zu herleitung der Bonferroni-Ungleichung:

P(⋂k=1bis n ​Ak​)≥∑k=1 bis n ​P(Ak​)−(n−1)

Mein Lehrer hat begonnen, indem er :

P(⋂k=1bis n ​Ak​) = P(∪k=1 bis n​ Ak^c​)^c gesetzt hat, aber ist das nicht falsch?

Müsste nicht diese Gleichung stimmten:

P(⋂k=1bis n ​Ak​) = P(⋂k=1bis n ​Ak​^c)^c

weil P(A) = P(A^c)^c oder vertue ich mich?

Answer 1

[eterneladam]

Zunächst musst du mit den Klammern aufpassen,

P(A) = P(A^c^c).

Bei P(A) = P(A^c)^c versuchst du, das Komplement einer Zahl zu bilden.

Der Ansatz deines Lehrers sollte wohl so lauten:

⋂k=1bis n ​Ak​ = (∪k=1 bis n​ Ak^c​)^c, und das ist eine Regel von de Morgan. (Wenn man das Komplement in die Klammer zieht, dann wird das ganze zum Durchschnitt über die Komplemente; von rechts nach links gelesen.) Also aus meiner Sicht OK.

Answer 2

[FataMorgana2010]

Nein, du vertust dich.

Das ist hier eine Anwendung der de Morganschen Regeln, genauer von

$\overline{\bigcup_{i\in I}A_{i}}=\bigcap_{i\in I}{\overline{A_{i}}}$

Wenn du das noch mal negierst, dann bekommst du:

$\bigcup_{i\in I}A_{i}= \overline{\overline{\bigcup_{i\in I}A_{i}}}=\overline{\bigcap_{i\in I}{\overline{A_{i}}}}$

Und genau das benutzt dein Lehrer. Äh, nein, die andere:

$\bigcap_{i\in I}A_{i}= \overline{\overline{\bigcap_{i\in I}A_{i}}}=\overline{\bigcup_{i\in I}{\overline{A_{i}}}}$