EDIT: Mein erster Einwand war falsch.
Ich würde ganz straightforward drangehen: Es gibt 9 Möglichkeiten für die erste Ziffer, dann 9 für die zweite, 8 für die dritte, 7 für die vierte usw... Es ergeben sich also
9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 Möglichkeiten.
Naja, {ab,b} ist die Menge, die die Strings "ab" und "b" als Elemente beinhaltet. Die Aussageform
x ∈ {ab,b} bedeutet daher x = ab oder x = b.
Zu 3e: Eigentlich ist die Lösung durch einen relativ intuitiven Ansatz erreichbar:
Wir überlegen uns zunächst, wie der erste Buchstabe des Wortes lauten kann. Naja, entweder a oder b oder c (oder gar kein Buchstabe, aber den Spezialfall lösen wir später).
Wenn es ein c ist, ist alles ok, aber wenn es ein a oder b ist, ist die Gesamtanzahl der a's und b's zu diesem Zeitpunkt ungerade. Damit das Wort trotzdem in der Sprache enthalten ist, muss später wieder ein a oder ein b kommen. Wir fokussieren das erste a oder b, das wir danach finden und erhalten zunächst den Ausdruck:
(a + b)c*(a + b) + c.
Nachdem wir entweder ein c oder eine Sequenz (a+b)c*(a+b) gelesen haben, fragen wir uns, was der nächste Buchstabe sein kann. Mit derselben Überlegung wird wieder die Sequenz "c" oder "(a+b)c*(a+b)" folgen (oder das leere Wort). Daher folgern wir induktiv, dass jedes Wort der Sprache dem Ausdruck
((a+b)c*(a+b)+c)* genügt. Der letzte Stern löst auch das Problem mit dem leeren Wort.
Bezüglich c): Wir haben eine Urne mit 5 E-Bikes und 15 anderen Zweirädern. Wir ziehen aus dieser Urne 4-mal. Wie hoch ist die W-keit, dass jeder Zug ein E-Bike ist?
Deine übrigen Rechnungen sehen soweit plausibel aus.
Da steht einfach nochmal die Definition von der Wurzel (auch wenn sie meiner Meinung nach unvollständig ist). Das haben sie einfach zur Sicherheit nochmal hingeschrieben, damit niemand die Aufgabe nicht machen kann, nur weil er nicht weiß, was ne Wurzel ist.
Zum Grenzwert von cn:
Nun bemerkst du, dass die rechte Seite ein konstanter Faktor ist, der größer als 0 ist. Somit ist
für einen konstanten Faktor k. Aber die Wurzelfunktion ist unbeschränkt.
Zum Grenzwert von bn: Schreibe
Nun berechne leicht den Grenzwert.
Zu deiner zweiten Frage:
Löse die Ungleichungen
bzw
nach n auf.
PS: Kann sein dass du zum korrekten Anzeigen der Brüche etwas reinzoomen musst.
zu i) Das folgt nicht SO direkt aus der Aufgabenstellung. Sagen wir, wir haben z.B. 2 Variablen x,y und nehmen die Belegung B(x) = 1, B(y) = 1.
Die disjunktive Normalform (x and y) or (not x and not y) liefert offensichtlich 1 zurück; was auch gut ist, da die Belegung tatsächlich zwei Einsen hat.
ABER: Einer der Konjunktionsterme (der zweite nämlich) hat kein einziges positives Literal. Wenn die Aussage in i) stimmt, muss es also eine Belegung geben, für die diese DNF das falsche Ergebnis zurückliefert.
Wir können uns um den Rest der Aufgaben kümmern, wenn du i) verstanden hast ;)
Beachte, dass die Sinusfunktion nur Werte zwischen 1 und -1 annimmt. Insbesondere nimmt sin(3x) + 1 nur Werte zwischen 2 und 0 an. Daher sind die Nullstellen gerade die Minima der Funktion.
In der Frage ist nach einer Menge gesucht (die du richtig als den Kern der Abbildung erkannt hast). D.h. in deine Antwort solltest du auch eine Menge schreiben:
Kern(f) = { (m,-2m,m) | m € R}.
Allerdings hast du bei der Rechnung einen Denkfehler gemacht: Die Matrix, die du verwendest, ist eine darstellende Matrix bezüglich der Basen (b1,b2,b3) und (e1,e2,e3). D.h. deine Ergebnisse sind auch "darstellend" und nicht die Punkte, die tatsächlich im Kern liegen.
Stochastik ist ein Oberbegriff für die Teilgebiete Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Beide Bereiche sind astreine mathematische Theorien, wenn man es richtig anstellt. Insofern ist auch Stochastik Mathematik.
Deutlich schlimmer als die Aussage Stochastik ist kein Mathe finde ich aber die Folgerung eures Lehrers: Deswegen können die meisten die Mathe können auch kein Stochastik.
Diese Schlussfolgerung ist in etwa so gut wie folgendes Argument:
Radfahren ist kein Wassersport. Deswegen können die meisten Wassersportler auch nicht radfahren.
Sei y eine beliebige komplexe Zahl. Du musst beweisen, dass es eine komplexe Zahl z gibt, sodass y = cosh(z).
D.h. y = (e^z + e^(-z)) / 2. Kannst du diese Gleichung vielleicht nach z auflösen?
Es gibt nicht DEN orthogonalen Vektor. Wenn du z.B. den Richtungsvektor (1,0,0) hast, dann sind sowohl (0,1,0) als auch (0,0,1) als auch jede Linearkombination der beiden senkrecht darauf, wie du leicht prüfst.
Wenn du einen Richtungsvektor gegeben hast, kannst du z.B. einfach einen zweiten, vom ersten Vektor linear unabhängigen Vektor erfinden und dann das Vektorprodukt ausrechnen. Das Ergebnis steht dann senkrecht auf beiden Vektoren, also insbesondere auch auf dem ersten.
Es gibt noch andere Methoden, aber diese hier verwendet immerhin das Verfahren, das du gewohnt bist.
Du weißt hoffentlich, dass lineare Abbildungen R^3 -> R^3 und quadratische Matrizen der Größe 3 x 3 im Prinzip dasselbe sind. Daher konstruiere ich nur eine Matrix, die das erfüllt.
Zunächst: Das Bild soll die yz-Ebene sein, d.h. die x-Komponente eines jeden Vektors im Bild muss 0 sein. Schauen wir uns das Produkt einer Matrix mit einem Vektor an, so schlussfolgern wir, dass die erste Zeile der Matrix die 0-Zeile sein muss.
Da das Bild ferner zweidimensional ist, muss die Matrix den Rang 2 haben, d.h. die anderen beiden Zeilen sind besser linear unabhängig.
Nun soll (1,2,3) im Kern liegen. Sagen wir, die Matrix lautet
0 0 0 a b c d e f
dann bedeutet das gerade:
Es gibt viele Wahlen dieser Parameter, die die Bedingungen erfüllen. Wählen wir z.B. f = 1 und e = 0, so erhalten wir d = -3.
Ähnlich könnten wir c = 0 und b = 1 wählen und damit a = -2 erzwingen. Dann ergibt sich die Matrix:
0 0 0 -2 1 0 -3 0 1
Als Abbildung ausgedrückt:
f(x,y,z) = (0, -2x + y, -3x + z).
Man muss nur darauf achten, dass die Parameter wirklich so gewählt werden, dass die beiden letzten Zeilen linear unabhängig sind.
Im Prinzip sind das nur Teile des Urnenmodells. Stell dir eine Urne vor mit ganz vielen durchnummerierten Kugeln vor.
Natürlich gehören nicht alle Aufgabenstellungen zum Urnenmodell, doch in der Regel lassen sie sich darauf zurückführen. Du musst jeweils überlegen, von welchem Typ deine Stichprobe ist.
Sagen wir mal, Masse und Volumen sind dasselbe. Ohne Einschränkung hat unsere große Kugel den Durchmesser D = 1 (skalieren kann man am Ende ja immer noch).
Dann beträgt das Volumen der großen Kugel gerade π/6. Die Oberfläche ist π.
Nun haben wir n kleine Kugeln - jeweils mit dem Durchmesser d, sodass die Summe ihrer Volumina wieder π/6 ist:
n * (d³ * π/6) = π/6, d.h. d³ = 1/n = n^(-1)
Also: d = n^(-1/3).
Damit beträgt die Oberfläche einer einzelnen kleinen Kugel:
π * d² = π * n^(-2/3).
Somit beträgt die Summe der Oberflächen der n kleinen Kugeln:
n * π * n^(-2/3) = π * n^(1/3).
Da n größer als 1 ist, ist n^(1/3) ebenfalls größer als 1. Damit gilt aber:
π * n^(1/3) > π.
Das heißt nichts anderes, als dass ich bei vielen kleinen Kugeln mehr Oberfläche habe, als bei einer großen.
Besser: Die Funktion f(n) = π * n^(1/3) ist streng monoton steigend für positive n. D.h. je mehr Kugeln, desto größer die Oberfläche.
Du weißt (hoffentlich), dass es genau 5 komplexe Zahlen gibt, die die Gleichung x^5 = 1 lösen (du weißt hoffentlich auch, wie diese Zahlen lauten).
Sagen wir, x0, x1, ..., x4 sind diese 5 Einheitswurzeln.
Sei nun a eine komplexe Zahl mit a^5 = -32. Dann gilt:
(a * x0)^5 = a^5 * (x0)^5 = a^5 * 1 = a^5 = -32.
D.h. auch (a * x0) ist eine Lösung der Gleichung z^5 + 32 = 0.
Entsprechend sind auch a * x1, a * x2 usw Lösungen dieser Gleichung und sie sind alle voneinander verschieden.
Da deine Gleichung eine polynomielle Gleichung fünften Grades ist, kann es gar nicht mehr als 5 Lösungen geben, d.h. du hättest dann alle gefunden.
Letzten Endes brauchst du also nur eine Lösung für die Gleichung zu ermitteln und kannst daraus dann die anderen berechnen.
Nehmen wir uns mal die billige Funktion f(x) = x. Wir wollen zeigen, dass sie stetig ist. Wie du richtig bemerkst, muss ich also zeigen, dass sie in jeder reellen Zahl stetig ist. Da ich nicht unendlich viele Beweise führen möchte, nehme ich mir stattdessen einen nicht näher spezifizierten reellen Punkt x0. Die einzige Eigenschaft, die ich x0 mitgebe, ist dass es eine reelle Zahl ist! Ich werde zeigen, dass f stetig in x0 ist. Da ich x0 nicht einen spezifischen Wert gegeben habe (es ist gewissermaßen eine Variable), kann ich dann später jede beliebige Zahl für x0 einsetzen und habe somit für jede beliebige Zahl einen korrekten Stetigkeitsbeweis.
Ich nehme mal die Epsilon-Delta-Stetigkeit:
Sei ε > 0. Gesucht ist ein δ > 0, sodass für alle reellen Zahlen x mit |x - x0| < δ die Ungleichung |f(x) - f(x0)| < ε erfüllt ist.
Nun, ich wähle einfach δ := ε, dann gilt offenbar für alle x mit |x - x0| < δ:
|f(x) - f(x0)| = |x - x0| < δ = ε
Und mehr haben wir ja nicht verlangt.
Somit ist f stetig in x0.
Ich fasse mal geordnet die Ergebnisse der verschiedenen Antworten zusammen, die für mich einen Sinn ergeben:
1) Das weiße Rechteck muss ein Quadrat sein.
2) Jedes der weißen Dreiecke ist gleichschenklig und rechtwinklig.
3) Sei c die Länge einer kurzen Seite des blauen Rechtecks. Dann berechnet sich die Länge a der Katheten des rechten oberen Dreiecks nach Pythagoras also durch c² = a² + a², also a = c / Wurzel(2).
4) Analog berechnet man die Kathetenlänge des unteren rechten Dreiecks mithilfe der langen Seite des blauen Rechtecks.
5) Die Seitenlänge des weißen Quadrates ist offenbar die Summen der beiden Kathetenlängen. Die Lösungsformel hat bereits DietmarBakel genannt:
(Lange Seite + Kurze Seite) / Wurzel 2
Zwei Geraden sind genau dann identisch, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind und sie sich einen gemeinsamen Punkt teilen. In diesem Fall teilen sie sich dann sogar alle Punkte.
In deinem Fall sind die Richtungsvektoren linear abhängig, denn du kannst den ersten als ein Vielfaches des zweiten darstellen:
(2,-4,6) = -2 * (-1,2,-3).
D.h. die Geraden sind entweder identisch oder parallel. Nun prüfst du einfach, ob der Ortsvektor der ersten Gerade auch in der zweiten Geraden liegt:
(7,1,0) = (8,-1,3) + s * (-1,2,-3).
Offensichtlich erfüllt s = 1 diese Gleichung, also liegt der Punkt (7,1,0) sowohl auf der ersten als auch auf der zweiten Geraden. Somit teilen sie sich einen gemeinsamen Punkt und sind daher identisch.
Ich versuche mich mal an der mathematischen Erklärung, die KlyX84 erwähnte...
Was wir hier betrachten, sind sogenannte Permutationen. Wir haben eine Menge von 5 Personen, die wir der Einfachheit halber als M = {1,2,3,4,5} bezeichnen.
Eine Permutation ist eine bijektive Funktion f von M nach M.
Das heißt einfach, dass für jedes x aus M der Wert f(x) ebenfalls in M liegt und dass jeder Wert in M genau einmal getroffen wird.
Ein Beispiel für eine solche Permutation wäre:
f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 4
f(4) = 3
f(5) = 5
Offensichtlich trifft diese Funktion jeden Wert in M genau einmal.
Eine Permutation f interpretieren wir wie folgt:
f(x) = y ist gleichbedeutend mit x schenkt y.
So, nun schauen wir uns deinen ersten Vorschlag an. Dieser lautet:
f(1) = 2
f(2) = 1
f(3) = 4
f(4) = 3
f(5) = 5
Das ist offenbar eine Permutation. Aber sie hat einen sogenannten Fixpunkt, denn die 5 wird auf sich selbst abgebildet. Das bedeutet, Person 5 beschenkt sich selber. Diese Option ist bei Permutationen nicht ausgeschlossen, denn sogar der Spezialfall f(x) = x für alle Elemente x der Menge M (jeder beschenkt sich selbst) ist eine Permutation.
Das Problem ist also, dass es Permutationen gibt, die einen Fixpunkt haben. Umgekehrt gibt es aber auch immer fixpunktfreie Permutationen, eine davon hast du ja bereits genannt. Daher kann die eine Permutation eine für uns passende Lösung sein und die andere nicht.
Wie lautet die Summe (Differenz) der Funktionen f(x) und g(x)?
Wo hat die Summe (Differenz) ihren Scheitelpunkt?
Liegt der Scheitelpunkt im Intervall [0; 4]? Falls ja, so liegt dort ein lokales Extremum vor. Ist es ein Maximum oder ein Minimum?
Wie lauten die Funktionswerte für die Randstellen x = 0 bzw x = 4? Welcher der bereits berechneten Funktionswerte ist der größte (bzw kleinste)?
Das sind alles Fragen, über die du grübeln kannst und die dir bei der Lösung der Aufgabe helfen könnten.
Ok, ich hab mir jetzt das Ende nochmal angesehen. Du sprichst von der Szene, in der Naomis Mutter mit dem Doktor spricht und Naomi verstört aus dem Fenster sieht?
Wenn ich mal "nur" den Anime in Betracht ziehe, dann würde ich einfach sagen, dass Naomi nach all den Geschehnissen nun schwere psychische Probleme hat (was auch irgendwie nachvollziehbar ist).
Aus dem Anfang des Spiels Corpse Party - The Book of Shadows geht aber noch ein bisschen mehr hervor: Zusätzlich dazu, dass Naomi natürlich schwer mit ihren Erinnerungen zu kämpfen hat (viele ihrer Freunde sind tot; am Tod von Seiko und Satoshi gibt sie sich vermutlich selbst die Schuld), scheint sich niemand aus der Realität an die Opfer des Zwischenfalls zu erinnern; deren gesamte Existenz scheint zusammen mit der Heavenly Host Elementary School einfach gelöscht worden zu sein. Wenn ihre Mutter sie nun darauf anspricht, warum sie so geknickt ist und sie erklärt, dass z.B. Seiko auf grausame Art und Weise gestorben ist, so glaubt die Mutter ihr nicht, weil niemand aus der Schule jemals von einer "Seiko" gehört hat. Daher nimmt sie an, dass Naomi Wahnvorstellungen hat und bittet den Doktor um Rat.
Dass man ihr nicht glaubt, führt Naomi noch stärker zur Verzweiflung und sie verfällt in die tiefe Depression, die wir am Ende gesehen haben.
Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter ;)