Lineare Algebra - lineare Abbildungen?
Ich verstehe die Notationen nicht ganz. f(phi)=sum_i=1^5 phi(i) was genau bedetuet das? ich nehm an phi ist die Menge 1 - 5. Also die Funnktion f gibt dann im Fall phi = 1, 1*1+2*1+...+5*1? Ist das korrekt?
Sehr dankbar für eure Hilfe
2 Antworten
ϕ ist eine Abbildung, aber weil die Urmenge endlich ist, reicht es, die Bildpunkte aufzuzählen:
Statt ϕ: i→i² schreibe einfach ϕ=(1, 4, 9, 16, 25).
Jedes ϕ lässt sich so als Vektor v∈ℝ⁵ darstellen, und umgekehrt definiert jeder Vektor v∈ℝ⁵ eine bestimmte Abbildung ϕ mit ϕ(i)=vᵢ. U und ℝ⁵ sind also isomorph.
Effektiv kannst Du wegen U≅ℝ⁵ die Abbildung f als f(v)=Σvᵢ v∈ℝ⁵ schreiben. a) wird damit einfacher, und b) ist schon trivial, wenn Du verstanden hast, wie man einen (Basis-)Vektor aus ℝ⁵ als Abbildung ϕ aufschreibt.
Wenn Du es wirklich ganz exakt machen willst, definiere g: ℝ⁵→ℝ mit g(v)=Σvᵢ und zeige, dass g linear ist. Wegen U≅ℝ⁵ ist dann auch f linear. Aber das grenzt schon an Haarspalterei.
Ouh latex geht nicht...wie hast du dann das gemacht...
Für Teil a habe ich eine neue Menge aus 5 Elementen definiert
Ich sehe nicht, wozu Du das brauchst.
$f(c\phi \alpha+\phi \beta)=cf(\phi \alpha)+f(\beta)$ gezeigt
Das reicht natürlich − vorausgesetzt, dass „c\phi \alpha+\phi \beta“ sowas wie „c·𝜙₁+𝜙₂“ sein soll. Die Addition und Skalarmultiplikation ergibt sich dabei aus der lapidaren Voraussetzung „ℝ-Vektorraum U“.
gefragt ist ja ne Basis für $U$ und nicht $U*$
Klar. Aber eine Basis für $U*$=ℝ⁵ findest Du ja leicht:
B*={ (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), ... }.
Du solltest diese Basisvektoren bᵢ aber als Basis für U mit Basisabbildungen 𝜙ᵢ aufschreiben, etwa so:
B={ 𝜙ᵢ∈U | 𝜙ᵢ(j)=𝛿ⁱⱼ für i,j∈{1,2,3,4,5} }
(𝛿ⁱⱼ ist das Kronecker-Symbol)
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Danke sehr!!!! Kurz zu Aufgabe c....Hier ist einfach die Standardbasis von R^5 oder? Da wir schlussendlich eine reele Zahl haben und phi sowieso nicht genau definiert ist.
In c) ist doch eine Matrix gefragt (mit einer Zeile und 5 Spalten). Die enthält genau die Koeffizienten in der Summe, also nur Einsen.
f(Phi) = phi(1) + phi(2) + phi(3) + phi(4) + phi(5)
f ordnet der Abbildung phi die Summe der Funktionswerte auf der Menge 1…5 zu.
Diese "linear functionals" verwirrt mich immer. Also die Menge {1,2,3,4,5} besteht aus 5 Vektoren und die funktion f transformiert die Elemente aus dieser Menge in Skalaen um, und zwar durch die Summierung? f(x), also phi, ist dann jeder Vektor aus der Menge? Habe ich richtig verstanden?
Phi ist eine Abbildung von der Menge nach R. f ist ein Funktional, es bildet phi in die reellen Zahlen ab.
aha so z.B. phi(1) wäre die Umwandlung vom Vektor(1) in reele Zahl(1)
Danke! Für Teil a habe ich eine neue Menge aus 5 Elementen definiert und mit der Formel $f(c\phi \alpha+\phi \beta)=cf(\phi \alpha)+f(\beta)$ gezeigt, wäre das ok? Für b) Ich habs ja so verstanden, gefragt ist ja ne Basis für $U$ und nicht $U*$ und jedes Element aus der Menge eben aus linearen Kombinationen von 1 umgeschrieben werden kann und daher ist die Basis $\{1,1,1,1,1\}$ Aber denn hast du geschrieben, dass die Basis noch mit der Abbildung $\phi $ zu tun hat...Und so bin ich ein bisschen lost...