Umkehrfunktion von einer Funktion mit dem natürlichen Logarithmus?

... komplette Frage anzeigen

4 Antworten

Hallo,

vertausche zunächst x und y (y=f(x)):

x=ln (y)+3

und löse nach y auf:

ln (y)=x-3

Da ln (y) die Zahl ist, mit der Du e potenzieren mußt, um y zu erhalten, kannst Du beide Seiten zu Exponenten von e machen:

e^(ln(y))=e^(x-3) 

e^(ln(y))=y, daher:

y=e^(x-3) oder f(x)=e^(x-3)

Analog gehst Du bei den anderen Aufgaben vor.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Willy1729
26.02.2017, 11:29

Sollte f(x)=ln(x+3) gemeint sein, rechnest Du:

x=ln(y+3)

e^x=y+3

y=e^x-3

Willy

2
Kommentar von Willy1729
04.03.2017, 14:00

Vielen Dank für den Stern.

Willy

0

Für Umkehrfunktionen vertauscht du immer x und f(x) (bzw. schreibst statt f(x) dann f⁻¹(x)) und löst dann nach f(x) auf.

Beispiel: f(x) = x² + 3, dann ist x = (f⁻¹(x))² + 3 ⇔ f⁻¹(x) = √(x - 3)

Das geht nun auch bei deiner Funktion:

f(x) = ln(x) + 3 x = ln(f⁻¹(x)) + 3 ⇔ f⁻¹(x) = e^(x - 3)

Merk dir immer: Der ln und e^ heben sich auf, das sind selbst Umkehrfunktionen zueinander.

Wenn du also irgendwas aus dem Exponenten einer e-Funktion bringen möchtest, dann bildest du denn ln davon, wenn du etwas aus dem ln bringen möchtest, setzt du es in den Exponenten einer e-Funktion.

f(x) = ln(x + 4) x = ln(f⁻¹(x) + 4) f⁻¹(x) = e^x - 4

Das ist der ganze Zauber, eigentlich kein Hexenwerk. ;)

LG Willibergi

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

y = ln(x) + 3

y - 3 = ln(x) | exp(...)

x = e ^ (y - 3)

bzw., wenn du das als neue Funktion y(x) etablieren willst, dann vertauschst du x und y noch miteinander -->

y = e ^ (x - 3)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Erst mal Schritt für Schritt.
Bei f(x)=y=ln(x)+3
-> y-3=ln(x)
->e^(y-3)=e^(ln(x))=x
(Dass die rechte Seiten sich zu x vereinfacht, ist einfach so. Merk dirs einfach.)
Da haste deine erste Umkehrfunktion: x(y)=e^(y-3)

bei y=ln(x+4)
->e^y=e^(ln(x+4))=x+4
->x=e^y-4

bei y=5*ln(x)
->y/5=ln(x)
->e^(y/5)=x

bei y=ln(2x)
->e^y=2x
->x=(e^y)/2

Im Prinzip guckste immer, dass Alles logarithmische auf einer Seite steht, nutzt notfalls logarithmusgesetze um mehrere logarithmen zu einem zusammenzufassen.
Dann beide Seiten potenzieren.

Das Prinzip funktioniert übrigens nicht nur bei e und ln sondern auch bei jeder anderen Potenz und ihrem logarithmus :-)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?