Hat eine auf x begrenzte lineare Funktion Extrema?
Angenommen wir hätten die Abbildung f: [-2,2] ---> R, f(x)=x
Diese Funktion hätte ja keine Extrema wenn der Definitionsbereich der Menge der reellen Zahlen entsprechen würde. Hat sie aber in diesem Fall ein lokales und globales Minimum bei (-2,-2) und ein lokales und globales Maximum bei (2,2)?
Und wenn ja, wie verhält sich das dann für das offene Intervall der Abbildung
g: ]-2,2[ ---> R, f(x)=x
Sind die Extrema dann jeweils die Grenzwerte die einmal gegen -2 und gegen 2 laufen?
3 Antworten
Liegt es daran, dass der Grenzwert eine nicht genau definierbare unendlich nah and der --2 bzw. 2 liegende Zahl ist
ja genau . Das ist der Tricky Punkt . Und das besondere an "unendlich" ( nah kommt man nämlich der -2 bzw +2 . Aber keine Zahl ist angebbar
Wenn ich mich nicht irre ist +2 z.b das Supremum der Menge , die mit dem Intervall beschrieben wird
Die Frage nach den Extrema hängt immer vom Definitionsbereich ab. Im Fall [-2,2] hast du die Antwort schon selber gegeben. Auf dem offenen Intervall nimmt die Funktion Minimum und Maximum nicht an.
Ah okay . Danke. Weißt du wieso das so ist beim offenen Intervall? Liegt es daran, dass der Grenzwert eine nicht genau definierbare unendlich nah and der --2 bzw. 2 liegende Zahl ist?
Jede stetige Funktion f: [a,b] —> R (wohl jede Funktion, die man in der Schule kennenlernt), nimmt ihr Minimum und Maximum an.
Wenn das Intervall offen ist, also (a, b], (a, b) oder [a, b), dann muss es nicht der Fall sein - kann es aber.
Bei deinem Beispiel nimmt f(x) = x (genannt Identität, kurz f = id), ihr Minimum und Maximum auf dem offenen Intervall (–2, 2) nicht an.
Das liegt daran, dass z. B. kein Minimum angenommen wird, da es für jedes d > 0 ein e > 0 gibt, sodass –2 < f(–2 + e) < f(–2 + d) < 2. So kann man immer näher an –2 heran kommen und –2 wird nie erreicht. f kann also kein Minimum annehmen. In so einem Fall kann man aber vom infimum sprechen, was die größte untere Grenze ist, die aber nicht angenommen werden muss. Beim Maximum spricht man dann vom Supremum, der kleinsten oberen Grenze.
Ja, das Maximum wird dann angenommen. Das Minimum aber nicht.
Beides wird jedoch nur in geschlossenen Intervallen angenommen bzw. Vereinigungen solcher.
Wenn ich das Intervall ]-2,2] hätte dann ist ja x= 2 Element des Definitionsbereiches. Hat die Funktion f(x) = x in diesem Fall ein Extremum? Nämlich das Maximum (2,2)?