globales Maximum offenes Intervall?
f(x) = x^2 + 4x + 3
Untersuche Sie die Funktion für den Definitionsbereich A = [-2,1[ auf lokale und globale Extremenstellen.
f'(x) = 2x + 4 = 0 x = -2
Gf ist auf [−2, 1[ streng monoton steigend
d. h. für f(-2) = -1 liegt ein globales Minimum vor.
lim x -> 1_ = 8 Nun ist ja im Intervall A die 1 ausgeschlossen, der Grenzwert geht aber gegen 8 für 1_
=> Hat die Funktion nun für A ein globales Maximum? Ich denke nicht, da 1 ja aus A ausgeschlossen ist. Hier gibt es kein globales Maximum in A.
=> Allerdings ein globales Minimum bei f(-2) = -1
Richtig?
1 Antwort
Du hast Recht - die Funktion besitzt kein globales Maximum, wohl aber ein Supremum; der Begriff des Supremums ist eingeführt worden, um z.B. Aussagen über eine Funktion auf nicht-abgeschlossenen Mengen zu machen, bei denen bspw. ein Grenzwert auf dem Rand liegt, der aber nicht zur Definitionsmenge gehört…
So ist es - das ist beispielsweise bei einer sogenannten kompakten Menge (abgeschlossen und beschränkt) der Fall (unter anderem auch bei einem abgeschlossenen Intervall) - hier aber nicht, da das Intervall halboffen ist…
Das Supremum ist ja richtig praktisch ...........
Aber was ist das Supremum hier ? Ein x - Wert oder nur die Aussage ,dass es eines gibt ?
Das Supremum hier ist der Grenzwert der Funktion für x = 1, wenn man die Funktion auf den Rand fortsetzen würde…
Wie du ma geschrieben hast:
"Ein Extremum (lokal oder global) muss immer als Fkt-Wert angenommen werden können..."