Funktion Grenzwert finden?
Hallo
Ich verstehe die Lösung nicht:
- Wie macht man diese Umformung? (rot Markiert)
- Wie kommt man auf den oberen und unteren lim?
2 Antworten
(n + 3) / (n + 1) = (n + 1 + 2) / (n + 1) = ((n + 1) / (n + 1)) + 2 / (n + 1) = 1 + (2 / (n + 1))
Hallo,
naja, a^5 zum Beispiel ist doch das Gleiche wie a^6/a.
a^n ist daher das Gleiche wie a^(n+1)/a.
Ersetze a durch 1+2/(n+1), dann siehst Du, daß
(1+2/(n+1))^n nichts anderes ist als (1+2/(n+1))^(n+1)/(1+2/(n+1)).
Weiter gilt: lim (a/b)=lim a/lim b. Du darfst also die Grenzwerte von Zähler und Nenner getrennt betrachten.
Der Limes des Nenners 1+2/(n+1) für n gegen unendlich ist aber 1, denn 2/(n+1) geht gegen 0, wenn n gegen unendlich geht. Somit darfst Du den Nenner durch 1 ersetzen.
Nun ist nur noch der Limes des Zählers zu betrachten. Wenn n gegen unendlich geht, spielt der Unterschied zwischen n und n+1 keine Rolle mehr. Du kannst also n+1 getrost durch n ersetzen. So kommst Du zum Limes von (1+2/n)^n.
Der ist aber e^2, denn allgemein ist der Limes für n gegen unendlich von
(1+a/n)^n gleich e^a.
Zum Nachweis kannst Du zu e^(n*ln (1+a/n)) umwandeln, den Limes in den Exponenten ziehen und nach Umformung des Exponenten zu ln (1+a/n)/(1/n) zum Beispiel de l'Hospital anwenden. Nach dem Ableiten von Zähler und Nenner kürzt sich -a/n² und -1/n² zu a, so daß nur noch der Limes von 1+a/n =1 bleibt.
a*1=a. Da dies der Limes des Exponenten von e ist, ist der Limes des gesamten Terms nicht a, sondern e^a.
Herzliche Grüße,
Willy
Bei c hilft Dir übrigens die dritte binomische Formel ungemein weiter. Eine entsprechende Erweiterung läßt lästige Wurzeln verschwinden. Sinnvolles Ausklammern und Kürzen führt danach zum Ziel.