Warum haben wir hier zwei Extrema und wie können das globale Extrema sein, wenn wir uns in einem Intervall befinden?
Ich betrachte doch die Funktion im INtervall von [0,1] also nicht im unendlichen INtervall, warum zählen die Extrema dann als globale und nicht als lokale extrema?
Und warum haben wir ein globales maximum in der 1?
Wir haben stehen sin(x^2)=0 bringe die Extremas
sin(x^2) wird ja bei vielfachen von pi=0.
Die 1 ist doch kein vielfaches von Pi?
2 Antworten
Ich betrachte doch die Funktion im INtervall von [0,1] also nicht im unendlichen INtervall, warum zählen die Extrema dann als globale und nicht als lokale extrema?
y ist ein Globales Maximum, wenn f(y) >= f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich gilt.
Hier ist der Definitionsbereich [0,1]
Und warum haben wir ein globales maximum in der 1?
Wir haben stehen sin(x^2)=0 bringe die Extremas
sin(x^2) wird ja bei vielfachen von pi=0.
Die 1 ist doch kein vielfaches von Pi?
Wenn die Funktion stetig ist, sind die Randpunkte vom Definitionsbereich, wenn die im Definitionsbereich enthalten sind, immer Extremstellen.
f(x)=x hat auf dem Definitionsbereich [0,1] an den Stellen 0, 1 Globale Extremstellen.
Doch, die Randstellen sind Lokale Extremstellen.
Das siehst du auch, wenn du es plottest:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29+from+0.4+to+0.8
Global weil es die höchsten Werte in deinem Intervall bzw genauer im Bildbereich der Abbildung sind.
Der Definitionsbereich ist ja dein Intervall [0,1] somit ist der Bildbereich eben durch die Abbildung und durch den Definitionsbereich gegeben.
Der niedrigste Wert im Bildbereich wird eben mit x=0 erreicht => globales Minimum und der maximale Wert im Bildbereich wird für x=1 erreicht => Globales Maximum.
Ob die Funktion für x>1 weiter steigt interessiert dich hier ja nicht weil alle x>1 ja nicht mehr Teil deines Definitionsbereichs sind.
Dass das mit x=0 erreicht wird, sehe ich ja durch ide erste Ableitung. Aber wie sehe ich, dass das globale Maximum bei x=1 erreicht wird?
Wie haben offensichtlich bei x=0 ein globales Minimum.
f'(x) > 0 für 1>= x > 0 => die Funktion ist streng monoton steigend bis x=1. => es kann keinen kleineren Wert im Bildbereich geben als er durch x=1 gebildet wird. => globales Maximum bei x=1
Okay danke, aber die Funktion sin(x) ist ja stetig, wenn ich jetzt sage wir betrachten das von [0,5,0,8] so geht ja eigentlich die stetigkeit nicht verloren, aber das sind ja keine Extremstellen?