Mathematik: Folge konvergent, beschränkt, monoton?

...komplette Frage anzeigen Wie kann ich den term mit (-1)^n umformen sodass ich n--> "unendlich" einsetzen - (Mathe, Mathematik, lernen)

4 Antworten

Gar nicht denn für diese Folge existiert kein Grenzwert.

Der Grenzwert existiert nur für Folgen welche auf einen bestimmten Wert zugehen.

Folgen konvergieren immer gegen ihren Grenzwert, wenn also eine Folge nicht konvergiert (in dem Sinne ist das Streben gegen unendlich oder -unendlich auch die Konvergenz gegen unendlich oder -unendlich) hat sie auch keinen Grenzwert.

Kurz gesagt die Folge (-1)^n ist nicht konvergent, weil sie gegen keinen bestimmten Wert strebt, genau so wenig wie die Folge: (-n)^n oder ähnliches.

Wichtig ist in diesem Falle noch das Leibnitzkriterium welches besagt, dass jede monotone Nullfolge  mit Alternierenden Vorzeichen konvergent ist, (-1/n)^n ist also konvergent.

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PeterKremsner 16.10.2016, 18:09

Okay ich hab mich vertan, ich dacht du meinst generell die Reihe (-1)^n.

Für die Reihen in deiner Angabe kannst du das Leibnitzkriterium aber doch bemühen, du ziehst die (-1)^n vor den Bruch und schaust ob der Bruch an sich monoton gegen Null konvergiert, wenn er das Tut ist die Komplette Reihe nach Leibnitz konvergent.

Den Grenzwert kannst du allerdings so nicht bestimmen, du kannst in aber mit dem Majorantenkriterium mehr oder weniger abschätzen, oder du wendest einen Trick an um die Reihe auf eine Reihe mit bekanntem Grenzwert zu überführen.

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Bei an ist der Grenzwert 1. einfach alles mit n^2 kürzen, vorher den Nenner ausmultiplizieren, dann hast du oben eine 1 und eine Nullfolge (-1)^n / n^2 , unten auch eine 1 und zwei Nullfolgen, Grenzwert ist also 1 /1 = 1. Bei b und c geht das ähnlich.

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lks72 17.10.2016, 09:13

ja, hab oben übersehen, dass dort 2 • n^2 steht, also 2/1 = 2. Erklärung stimmt aber.

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linksoben 17.10.2016, 14:17

Ja vielen dank! Hast uns wirklich weitergeholfen! :)

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Hier hast du es mit einer alternierenden Reihe zu tun. Du kannst das Leibnitzkriterium verwenden, das besagt, dass wenn der Faktor nach (-1)^n eine Nullfolge ist, die Reihe konvergiert.

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PeterKremsner 16.10.2016, 18:01

Nein das geht nicht weil es keine Nullfolge ist, das Leibnitzkriterium gilt nur für alternierende monotone Nullfolgen.

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PeterKremsner 16.10.2016, 18:07
@NoTrolling

Ja das gilt aber auch für mich, ich dachte er meinte die Reihe (-1)^n ^^

Was aber offensichtlich nicht so ist, ob die Reihen in der Angabe den Forderungen fürs Leibnitzkriterium genügen kann ich ad hoc nicht sagen.

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NoTrolling 16.10.2016, 18:07
@PeterKremsner

Naja, aber wenn man das Glied (a_n) zerlegt, Lässt sich damit für (-1)^n/(n+1)^2 zeigen, dass es gegen Null geht. Damit nähert sich die Folge dem Wert 2.

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PeterKremsner 16.10.2016, 18:13
@NoTrolling

Ja die Folge konvergiert.

Aber heute ist nicht mein Tag^^

Das Leibnitzkriterium gilt bei Reihen nicht bei Folgen, in dem Fall ist sogar jede Nullfolge konvergent.


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PeterKremsner 16.10.2016, 18:25
@NoTrolling

Ja so passts, mir hat bei dem Vorherigen der erste Term (2n^2)/(n+1)^2 gefehlt.

Im Endeffekt ist hier aber wichtig, dass sowohl der Grenzwert (-1)^n/(n+1)² existiert als auch 2n²/(n+1)², ansonsten gibts eben keinen.

Also zB 2n²/(n+1)² + (-1)^n*2n²/(n+1)² hätte keinen Grenzwert.

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NoTrolling 16.10.2016, 18:28
@PeterKremsner

Ah, okay!

Auch gut, dass du angesprochen hast, dass es sich um eine Folge handelt, ich bin total durcheinander gekommen :D

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Also konnten wir dir jetzt weiterhelfen? :D

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linksoben 16.10.2016, 19:50

Ja vielen dank! Das leibnitzkriterium war ein guter ansatz :)

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PeterKremsner 16.10.2016, 23:18
@linksoben

Aber wie gesagt, das Leibnitzkriterium gilt nur für Reihen nicht aber für Folgen.

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