Wie beweise ich möglichst kurz und verständlich, dass keine Zehnerpotenz (10^n) durch 37 teilbar ist?

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10^n = (2*5)^n = 2^n * 5^n

Das bedeutet, jede positive ganzzahlige Potenz von 10 hat ausschließlich die Primfaktoren 2 und 5. Das Produkt daraus kann niemals durch die Primzahl 37 teilbar sein.

Super, danke! An Primzahlfaktoren habe ich garnicht gedacht.

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Hallo,

Du kannst es auch über die Modulo-Rechnung zeigen:

10^1 mod 37=10

10^2 mod 37=26

10^3 mod 37=1

10^4=10^1*10^3

Da 10^1 mod 37=10 und 10^3 mod 37=1, ist (10^1*10^3) mod 37=10*1=10

10^5=10^2*10^3

10^5 mod 37=(26*1)=26

10^6=10^3*10^3

10^6 mod 37=(1*1)=1

Dann beginnt das ganze Spiel wieder von vorn.

Es bleiben bei sämtliche Zehnerpotenzen, die an durch 37 teilt, immer abwechselnd die Reste 10, 26 und 1.

Herzliche Grüße,

Willy

ggT(37, 10) = 1, also sind 37 und 10 relativ prim, darum sind 37^m und 10^n relativ prim für alle m, n > 0. Insbesondere gilt 10^n | 37^m für keine m, n > 0.

* natürlich meine ich eher
37^m | 10^n für keine m, n > 0,
wobei die andere Aussage ebenfalls gilt.

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