Wahrheit dieser Aussage beweisen?
Wie beweise ich, dass diese Behauptung wahr ist?
Für alle natürlichen Zahlen a und b gilt: Wenn das Produkt von a und b gerade ist, dann ist a gerade oder b ist gerade.
Ich kann natürlich zahlen einsetzen, um mir erstmal ein Bild zu machen. Bei diesen Beispielen ist die Aussage war, aber ein Beispiel ist ja kein Beweis.
Wie Beweise ich, dass diese Behauptungen für alle natürlichen a,b immer wahr ist?
4 Antworten
Eine Gerade Zahl kann dargestellt werden als 2n (n aus IN), eine Ungerade Zahl als 2n+1
Zwei ungerade Zahlen:
(2n+1)*(2m+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1 = 2k + 1 → ungerade
Eine ungerade, eine gerade Zahl:
(2n+1)*2m = 4mn + 2m = 2(2mn+m) = 2k → gerade
Zwei gerade Zahlen:
2m * 2n = 2(m+n) = 2k → gerade
Du kannst jede gerade Zahl z aufteilen in
Natürlich kannst Du auch anders aufteilen, aber die 2 wird in einem der beiden Faktoren zwingend auftauchen (Primzahlenzerlegung).
Weiterhin gilt, dass jede Zahl, welche 2 als Faktor enthält, gerade ist. Dies folgt aus der Definition von geraden Zahlen "Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie ohne Rest durch zwei teilbar ist; andernfalls heißt sie ungerade"
Wenn a*b = 2k (d.h. gerade) und angenommen b ungerade, dann betrachte a = 2k/b und überlege anhand der Primfaktorzerlegung, dass a = 2*m mit einem m aus IN gelten muss (d.h. a ist gerade)
Das Gegenteil wäre: Beide sind ungerade.
(2n+1)*(2m+1) = 4nm + 2n + 2m + 1
Das ist eine ungerade Zahl, im Gegensatz zur Voraussetzung.