Ist die 0 eine Natürliche Zahl ?

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Ist die 0 eine Natürliche Zahl?

Das ist gleichsam eine philosophische Frage. Die antike griechische Mathematik kannte kein Zeichen für die 0, nicht, weil man einfach nicht darauf gekommen wäre, sondern aufgrund philosophischer Vorbehalte („wie kann nichts (μηδέν) etwas sein?“).

Einige griechische Mathematiker haben sogar in Zweifel gezogen, dass die 1 tatsächlich eine Zahl ist https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number#Ancient_roots).

Das ist sogar nachvollziehbar: „Zahl“ kommt von „zählen“. Man zählt Objekte, die einer Kategorie angehören, oder auch Individuen. Es können zu Beispiel Kastanien in einer Kiste sein. Ist nur eine einzige drin, hört man mit dem Zählen in dem Moment gleichzeitig auf, in dem man damit anfängt.

Bis 0 zählen kann man eigentlich gar nicht wirklich. Schließlich müsste man dabei quasi mit dem Zählen aufhören, ehe man überhaupt damit anfängt. 

Andererseits ist die 0 eine mögliche Antwort auf die Frage „wie viele“ und somit eine Kardinalzahl, d.h., sie bezeichnet die Mächtigkeit (Kardinalität) der Leeren Menge ({} bzw. ∅). Das spricht definitiv für die Bezeichnung der 0 als Natürliche Zahl.

Das entsprechende Zeichen „ℕ“ ist nicht wirklich eindeutig. Es kann

ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, …}

oder

ℕ⁺ = {1, 2, 3, …}

bezeichnen. Manche Menschen sind sozusagen konservativer und benutzen ℕ für ℕ⁺ als die „eigentlichen“ Natürlichen Zahlen und betrachten die 0 als eine Art Erweiterung.

Andere intrpretieren ℕ als ℕ₀. In Anlehung daran, dass der Ausdruck „größer als 0“ (>0) manchmal durch „echt größer 0“ (⪈0) spezifiziert wird, die eine Gleichheit ausdrücklich ausschließt, könnte man ℕ⁺ als Menge der Echten Natürlichen Zahlen bezeichnen.

Nun stellt sich mir die Frage: Ist die 0 eine natürliche Zahl? Dann wäre die Behauptung nämlich falsch, denn 0·0=0, und 0 ist nicht durch 4 teilbar..

Aber sicher! Eine Natürliche Zahl heißt ja durch eine andere Natürliche Zahl teilbar, wenn der Quotient wieder eine Natürliche Zahl ist. Nun ist

0/4 = 0,

und das heißt, wenn 0 eine Natürliche Zahl ist, ist sie auch teilbar durch 4 (tatsächlich ist sie durch jede beliebige Natürliche Zahl teilbar, mit Ausnahme der 0 selbst, denn durch 0 lässt sich gar nichts teilen, und zwar mangels Eindeutigkeit, nicht etwa, weil etwas Unendliches dabei herauskäme).

Natürlich kann man diese Definition der Teilbarkeit auch auf Ganze Zahlen (Formelzeichen ℤ) übertragen. Eine Ganze Zahl ist die 0 in jedem Fall.

Beide Definitionen der natürlichen Zahlen sind möglich, stammen aber aus unterschiedlichen Zeitaltern.
Die Definition ohne '0' ist die Ältere.

Wenn man es mathematisch exakt machen will spricht man von
der Menge N ohne die 'Null' und der Menge N0 (0 tiefgestellt) mit der 'Null'.

Per Definition ist die Division 0 / n immer 0. D.h. formal ist eine Null durch alle (natürlichen) Zahlen (außer Null)  teilbar.

0 durch 4 ist 0. 0 ist also durch 4 teilbar...

Am Ende ist es eine Definitionssache ob 0 Teil der natürlichen Zahlen ist.

Die Frage ist eher: Warum sollte man die 0 aus so einer Menge ausschließen? Am Ende existiert das Vorhanden sein von 0, auch wenn man in der Realität entweder kein einziges Beispiel oder unendlich viele Beispiele findet. Aber Mathematik ist ja auch nicht da die Realität zu "befriedigen", sondern Modelle zu bilden, die nützlich sind. Und in den meisten Fällen ist es nützlich die 0 als Teil der natürlichen Zahlen zu haben.

Du hast 2 natürliche Zahlen a,b für die gilt:

(2a × 2b)/4 = (2 × 2 × ab)/4 = 4/4 × ab = ab

Diese Gleichung gilt immer, egal ob Du 0 als Element von N betrachtest oder nicht, denn

(2×0 × 2×b)/4 = 0/4 = 0

Hallo,

tja... die 0 ist da eben etwas besonderes. Je nach Philosophie gehört Sie zu den natürlichen Zahlen oder auch nicht.

Vereinfacht gesagt, bilden die natürlichen Zahlen alles ab, wie man es in der Natur zählen konnte. 1 Stein, 2 Steine, 3 Steine usw.

Daher gibt es auch keine 3,5 Steine, denn wenn man einen Stein zerbricht, werden ja 2 kleinere Steine daraus.

Die 0 hat nun das Problem, dass etwas das nicht vorkommt, nicht gezählt werden kann, da es ja nicht existiert. Nach der Logik ist die 0 quasi nicht vorhanden und somit auch keine 'Natürliche Zahl.

Andererseits, kann die 0 aber durch ein Ereignis natürlich entstehen. Wenn ich 1 Stein habe und diesen ins Meer werfe habe ich 0 Steine. Das ist mehr oder weniger die Erklärung dafür, warum die 0 oft dazugezählt wird.

Im Prinzip ist die Frage, ob die 0 nun zu den natürlichen Zahlen zählt, kaum zu klären, da es eigentlich keine Mathematische, sondern tatsächlich eher eine philosophische ist.

Für die spezielle Aufgabe könnte man sagen, du hast 0 Steine und teilst diese mit 3 anderen. Dann hat jeder davon immer noch 0 Steine. So gesehen ist die Regel zutreffend.

LG, Chris

Naja, aber was antwortest Du jetzt, wenn jeder außer Dir Steine hat auf die Frage, wieviele Steine Du hast? Oder wieviele Blumen Du auf dem gepflügten Acker siehst?

Richtig, die "natürliche" Antwort ist: keine. In einer Menge IN ohne 0 kann man aber diese Aussage nicht treffen. Und somit ist das aus meiner Sicht nicht mehr natürlich.

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