Ist die 0 eine Natürliche Zahl ?

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Ist die 0 eine Natürliche Zahl?

Das ist gleichsam eine philosophische Frage. Die antike griechische Mathematik kannte kein Zeichen für die 0, nicht, weil man einfach nicht darauf gekommen wäre, sondern aufgrund philosophischer Vorbehalte („wie kann nichts (μηδέν) etwas sein?“).

Einige griechische Mathematiker haben sogar in Zweifel gezogen, dass die 1 tatsächlich eine Zahl ist https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number#Ancient_roots).

Das ist sogar nachvollziehbar: „Zahl“ kommt von „zählen“. Man zählt Objekte, die einer Kategorie angehören, oder auch Individuen. Es können zu Beispiel Kastanien in einer Kiste sein. Ist nur eine einzige drin, hört man mit dem Zählen in dem Moment gleichzeitig auf, in dem man damit anfängt.

Bis 0 zählen kann man eigentlich gar nicht wirklich. Schließlich müsste man dabei quasi mit dem Zählen aufhören, ehe man überhaupt damit anfängt. 

Andererseits ist die 0 eine mögliche Antwort auf die Frage „wie viele“ und somit eine Kardinalzahl, d.h., sie bezeichnet die Mächtigkeit (Kardinalität) der Leeren Menge ({} bzw. ∅). Das spricht definitiv für die Bezeichnung der 0 als Natürliche Zahl.

Das entsprechende Zeichen „ℕ“ ist nicht wirklich eindeutig. Es kann

ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, …}

oder

ℕ⁺ = {1, 2, 3, …}

bezeichnen. Manche Menschen sind sozusagen konservativer und benutzen ℕ für ℕ⁺ als die „eigentlichen“ Natürlichen Zahlen und betrachten die 0 als eine Art Erweiterung.

Andere intrpretieren ℕ als ℕ₀. In Anlehung daran, dass der Ausdruck „größer als 0“ (>0) manchmal durch „echt größer 0“ (⪈0) spezifiziert wird, die eine Gleichheit ausdrücklich ausschließt, könnte man ℕ⁺ als Menge der Echten Natürlichen Zahlen bezeichnen.

Nun stellt sich mir die Frage: Ist die 0 eine natürliche Zahl? Dann wäre die Behauptung nämlich falsch, denn 0·0=0, und 0 ist nicht durch 4 teilbar..

Aber sicher! Eine Natürliche Zahl heißt ja durch eine andere Natürliche Zahl teilbar, wenn der Quotient wieder eine Natürliche Zahl ist. Nun ist

0/4 = 0,

und das heißt, wenn 0 eine Natürliche Zahl ist, ist sie auch teilbar durch 4 (tatsächlich ist sie durch jede beliebige Natürliche Zahl teilbar, mit Ausnahme der 0 selbst, denn durch 0 lässt sich gar nichts teilen, und zwar mangels Eindeutigkeit, nicht etwa, weil etwas Unendliches dabei herauskäme).

Natürlich kann man diese Definition der Teilbarkeit auch auf Ganze Zahlen (Formelzeichen ℤ) übertragen. Eine Ganze Zahl ist die 0 in jedem Fall.

Beide Definitionen der natürlichen Zahlen sind möglich, stammen aber aus unterschiedlichen Zeitaltern.
Die Definition ohne '0' ist die Ältere.

Wenn man es mathematisch exakt machen will spricht man von
der Menge N ohne die 'Null' und der Menge N0 (0 tiefgestellt) mit der 'Null'.

Per Definition ist die Division 0 / n immer 0. D.h. formal ist eine Null durch alle (natürlichen) Zahlen (außer Null)  teilbar.

Du hast 2 natürliche Zahlen a,b für die gilt:

(2a × 2b)/4 = (2 × 2 × ab)/4 = 4/4 × ab = ab

Diese Gleichung gilt immer, egal ob Du 0 als Element von N betrachtest oder nicht, denn

(2×0 × 2×b)/4 = 0/4 = 0

Mengenmodell der Natürlichen Zahlen?

Hallo

Wie ich mitbekommen habe, kann man die Natürlichen Zahlen mit der Mengenlehre beschreiben. Dabei sind die Natürlichen Zahlen Mengen, welche Elemente enthalten.

0 = {}

1 = { {} }

2 = { {} ; { {} } }

3 = { {} ; { {} } ; { {} ; { {} } } }

n + 1 = n geschnitten mit {n}

Also lässt sich jede Menge einer natürlichen Zahl als die Menge aller schon definierten Zahlen bilden. Die Menge der Zahl 1 beinhaltet die Menge der Zahl 0. Die Menge der Zahl 2 beinhaltet die Menge der Zahl 1 und die Menge der Zahl 0. Das einzige was anfangs gegeben ist ist die Menge der Zahl 0, welche die leere Menge ist.

Man sagt, dass die Menge aller Natürlichen Zahlen die kleinste Induktive Menge ist.

Definition einer induktiven Menge:

1. Die Leere Menge ist Element der induktiven Menge.

2. Für jedes Element x der induktiven Menge gibt es ein Nachfolgerelement, welches x geschnitten mit {x} ist.

Es gibt ja verschiedene induktive Mengen und die Schnittmenge aller induktiven Mengen sind die Natürlichen Zahlen.

Somit soll bewiesen sein, dass die Natürlichen Zahlen existieren doch ich habe eine Frage.

Mir ist bewusst, dass die Schnittmenge aller induktiven Mengen gleich viele Elemente enthält wie die Natürlichen Zahlen. Also unendlich Elemente. Und ich weiss, dass die Natürlichen Zahlen ja die Mächtigkeit jedes einzelnen Elements der Schnittmenge aller induktiven Mengen bezeichnen. Und mir ist auch bewusst, dass jede natürliche Zahl n welche kleiner als eine andere Natürliche Zahl m ist, eine Teilmenge von dieser ist. Z.b.

1 = { {} }

2 = { {} ; { {} } }

1 ist Element von 2

Und so entsteht eine Ordnungsstruktur

Aber wieso soll die Schnittmenge aller induktiven Mengen die Menge der Natürlichen Zahlen sein? Ich kann mir das immer noch nivht erklären. Ja einige Eigenschaften stimmen überein aber das muss ja lange nicht heissen, dass diese Zwei Mengen identisch sind?

Kann mir das bitte jemand erklären?

Danke schon im Vorraus.

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