Wie soll ich diese mathematischen Aussagen beweisen?
Es geht um die Aufgaben mit Bild- und Urbildmengen. Ein Gegenbeweis also ein Gegenbeispiel für eine Aussage ist noch relativ einfach, aber wie soll ich eine dieser Aussagen beweisen. Mit vollständiger Induktion. Ich glaube eben, dass die Aussage a) wahr ist, weiß aber nicht wie die beweisen soll...
1 Antwort
Normalerweise beweist Du das mit Beweis durch Widerspruch. Du nimmst also mal an, dass es beispielsweise ein Element x gibt, für dass die Kriterien für Surjektivität nicht erfüllt sind. In einer Kette logischer Schritte zeigst Du nun, dass dies zu einem Widerspruch führt.
Dasselbe machst Du für die Injektivität. Hast Du belegt, dass beide gelten, ist die Funktion automatisch bijektiv.
Funktion b) kann schon mal nicht bijektiv sein, da es für jeden Wert aus Z unendlich viele Werte aus ZxZ gibt, die darauf abgebildet werden.
Hm, da hilft eigentlich nur probieren, was am einfachsten geht. Natürlich muss jede Beweismethode zu demselben Ergebnis kommen - die Frage ist halt immer, wie einfach die Beweisführung ist.
Solche "Für alle"-Beweise schreien eigentlich immer danach, zunächst einmal zu probieren, ob man ein Element findet, für das es nicht klappt. Induktion bietet sich hier meist nicht an - die ergibt eher Sinn, wenn man für ein Element n etwas aus vorherigen Elementen schließen kann. Das ist hier eher nicht so.
Man kann vieles aber auch einfach direkt als Folge logischer Schlüsse (im Sinne von: Man kennt eine hilfreiche Definition oder einen Satz, aus dem man folgern kann) beweisen.
Ja, danke da hilft schon etwas. Aber eigentlich bezieht sich meine Frage auf die Aufgabe darunter mit den Bild- und Urbildmengen. Wobei ich da wahrscheinlich auch mit dem Beweis durch Widerspruch vorgehen muss oder?