Beweis zu Reihen mit vollständiger Induktion?
Kann mir jemand erklären wie man den Beweis bei einer oder beide Aufgaben erbringen kann? :)
Vielen Dank!
2 Antworten
Vollständige Induktion sind im Wesentlichen immer drei Schritte:
Setze den Induktionsanfang ein und zeige, dass die Aussage gilt. Das ist meistens ein relativ trivialer Fall (hier soll die Aussage für alle natürlichen Zahlen gelten, also ist dein Induktionsanfang 1).
Passt.
Die Idee der Induktion ist jetzt, dass du einen Fall konkret zeigst (die Induktionsannahme) und zusätzlich zeigst, dass sich die Gültigkeit der Aussage auf den Nachfolger überträgt - das heißt, gilt die Aussage für eine Zahl, gilt sie auch für deren Nachfolger. Das heißt, wir nehmen an, dass
gilt und leiten daraus her, dass dann auch
gelten muss (das ist genau die Aussage für n + 1). Unsere Induktionsannahme ist also
und wir fixieren dieses n.
Im dritten Schritt zeigen wir, dass sich die Gültigkeit auf den Nachfolger überträgt, wir schauen uns also die Formel für n + 1 an, indem wir statt n einfach n + 1 einsetzen:
Wir haben angenommen, dass die Formel für n gilt - können wir die Summe bis n + 1 also irgendwie auf die Summe bis n zurückführen? Denn dafür haben wir ja schon eine einfachere Formel. Können wir:
Wir haben einfach den letzten Summanden rausgezogen. Und jetzt können wir die Summe durch die Formel ersetzen, denn das ist ja genau die Aussage für n, die wir als richtig angenommen haben:
Der Rest ist jetzt nur noch Umformung - zu zeigen ist noch, dass der Term, den wir erhalten genau dasselbe ist wie die Formel, die wir beweisen sollten, wenn wir statt n einfach n + 1 einsetzen, d.h. der Beweis, dass das, was wir bekommen haben, indem wir umgeformt haben
also gleich dem ist, was wir erhalten, wenn wir statt n einfach n + 1 einsetzen, fehlt noch. Das sind aber nur ein paar einfache Umformungen der linken Seite und dann steht die rechte Seite da. Alternativ kannst du auch einfach zeigen, dass die letzte Gleichung gilt, indem du umformst und eine wahre Aussage erhältst. Das wäre der Weg mit der Brechstange, aber auch eine Möglichkeit, Gleichheit zu zeigen.
Damit haben wir die Aussage bewiesen. Wir haben händisch gezeigt, dass sie für n = 1 gilt (der Induktionsanfang). Dann haben wir gezeigt: Wenn die Aussage für eine Zahl stimmt, dann stimmt sie auch für den Nachfolger (das war der Induktionsschritt). Und sie gilt für 1. Also gilt sie auch für 2, den Nachfolger. Weil sie für 2 gilt, gilt sie aber auch für 3. Auf diese Weise erhalten wir - induktiv - die Gültigkeit der Aussage für alle natürlichen Zahlen, und das ist ja genau, was wir allgemein zeigen wollten.
Alles klar?
LG
Ich mal mal a)
Induktionsanfang: n = 1
1^3 = 1/4*1*(2^2) = 1
Passt.
Induktionsvoraussetzung:
Induktionsbehauptung:
Induktionsschritt: n -> n+1
Womit die Behauptung bewiesen wäre.
b) geht ähnlich. Versuch es mal.