Beweise mit vollständiger Induktion?
Hallo, ich bin ziemlich schlecht in Mathe und hab einige Probleme mit einem neuen Thema, was wir gerade angefangen haben - vollständige Induktion.
Wir haben einige Aufgaben dazu, aber ich blick nicht so recht durch und weiß auch nicht, wie man da wirklich anfängt. ._.
Die Aufgabe:
Ich würde mich wirklich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte :]
1 Antwort
Zunächst lasse dir gesagt sein dass
ich bin ziemlich schlecht in Mathe
Für Aufgaben dieser Art die falsche Einstellung ist. Damit wirst du bei den weiteren Herausforderungen, die dir in Mathematik bevor stehen immer weiter den Anschluß verlieren und am Ende scheitern.
Ich versuche es mal etwas ausführlicher als ich es sonst tue.
Bei einem Induktionsbeweis geht man immer gleich vor. Man setzt einen Anfang (bei n = 0 oder n = 1) und zeigt zunächst die Beziehung für diesen Anfang. Meist ist dies der einfachste Schritt.
Beispiel a) n = 0 -> 0³ - 0 = 0 ist ohne Rest durch drei teilbar, die Aussage ist also für n = 0 richtig. Induktionsanfang fertig.
Nun nimmst du an das die Aussage für n gilt (Induktionsannahme) und schreibst die linke Seite für n+1 hin:
(n+1)³ - (n+1)
und versuchst nun so umzuformen dass du die Voraussetzung, dass die Aussage für n gilt verwenden kannst:
(n+1)³ - (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 - n - 1= n³ - n + 3(n² + n)
Nach Induktionsannahme ist ja n³ - n = 3*k für ein k € N (genau das bedeutet "ohne Rest durch 3 teilbar") und damit
n³ - n + 3(n² + n) = 3k + 3(n² + n) = 3(k + n² + n) ist durch 3 ohne Rest teilbar
also folgt aus der Induktionsannahme für n dass die Aussage auch für n + 1 gezeigt werden kann. Die Aussage ist also insgesamt bewiesen.
Für den Bonuspunkt: n³ - n = n(n² - 1) = n(n + 1)(n - 1)
Überlege dir nun warum entweder n oder n+1 oder n-1 durch drei teilbar sein müssen und damit der gesamte Ausdruck durch drei teilbar ist.
Versuche nun die anderen Aufgaben genau so zu bearbeiten. Wenn du einen sauberen Aufschrieb lieferst gehe ich diesen gerne durch.
Denke bei der Fakultät einfach daran dass du sie "einfach" auseinander ziehen kannst. Also z.B. (n+1)! = n!*(n+1) etc. Ebenso kannst du eine Summe auseinanderziehen. Wenn die Summe bis n+1 läuft, so kannst du sie in eine Summe bis n und in den letzten Summanden für n+1 auseinander ziehen. Damit kannst du leicht die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Vielen Dank für deine Ausführung, hat mir sehr geholfen :]
Bei der Bonusaufgabe, wäre die Begründung glaube ich, dass einer der drei Faktoren n, n+1 oder n-1 immer durch 3 teilbar ist, wodurch der ganze Ausdruck ebenfalls durch drei teilbar ist. Also zB für n=1 ist es mit n-1 durch drei teilbar und bei n=2 ist es mit n+1 durch 3 teilbar oder eben wenn n selbst dann zu einer durch 3 teilbare Zahl wird.
Bezüglich der restlichen Aufgaben, habe ich bei b) noch nicht ganz weitergefunden, weil ich nicht weiß wie das wirklich mir der Fakultät funktioniert und c) habe ich bis zum Ende gemacht, aber da weicht immer noch eine Zahl ab, also werd ich noch weiter schauen, wo irgendwie meine Fehler liegen.
Danke nochmal, so konnt ich wenigstens einen Anfang finden ^^