Mathematisches Beweisen von Folgen/Grenzwerten?

Hallöchen! Mir ist unklar, wie ich hier vorgehen soll. Macht man dies mit der vollständigen Induktion oder ist das eine bernoulli Ungleichung. Ich bin ziemlich verwirrt :/

Answer 1

[eterneladam]

Bei (a) muss du nur den Hinweis nachgehen, d.h. das Binom ausrechnen. Nach oben abschätzen (durch n) ist naheliegend, nach unten Abschätzen durch Weglassen aller Summanden ausser für k=0 und k=2 (wenn die Summe des Binoms über k läuft).

Bei (b) musst du die Ungleichung aus (a) verwenden, einfach alles ausser der Klammer ( ... )^2 nach links bringen und dann n gegen unendlich gehen lassen.

Answer 2

[Littlethought]

Aufgabe b: x^(1/x) = e^[ 1/x * ln(x) ]

Der Grenzwert von 1/x * ln(x) für x-> unendlich ist nach dem Lehrsatz des L´Hopital gleich dem Grenzwert von 1/x für x-> unendlich.

=> Der Grenzwert von e^[ 1/x * ln(x) ] = 1.

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Lehrer u. Fachbetreuer für Mathematik und Physik i.R.

Answer 3

[YBCO123]

Zu b)

Du weißt, dass

$_{n^{\frac{1}{n}}\ >\ 1}$

sein muss, also

$n^{\frac{1}{n}}=\ 1\ +\ \Delta_n$

mit

$\Delta_n>0$

Daher:

$n\ =\ \left(1+\Delta_n\right)^n\ =\ 1+\binom{n}{1}\Delta_n+\binom{n}{2}\Delta_n^2+\binom{n}{3}\Delta_n^3+\ \ldots$

Daher ist

$n\ >\ \binom{n}{2}\cdot\Delta_n^2$

;-)