Direkter Beweis gerade Zahlen?


02.12.2020, 23:46

In der nächsten Aufgabe muss ich die Aussage indirekt beweisen, also wenn m^2 + n^2 ungerade ist, dann ist m+n auch ungerade. Kann mir da jemand helfen? :)

Sollen m und n natürliche Zahlen sein?

Ja! Sorry, das habe ich nicht erwähnt, aber ja, sollen natürliche Zahlen sein.

4 Antworten

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Erinnere dich dafür zunächst daran, wie gerade Zahlen definiert sind.

Versuche anhand dieser Definition nachzuweisen, dass m² + n² gerade ist, wobei du die Voraussetzung verwenden darfst, dass m + n gerade ist.

Hinweis:
Betrachte (m + n)².
Multipliziere dies einerseits aus.
Verwende andererseits die Bedingung, dass m + n gerade ist.
So erhälst du eine Gleichung, die du nach m² + n² auflösen kannst.
Versuche daraus dann die Bedingung dafür zu zeigen, dass m² + n² gerade ist.

Möglicher Lösungsweg:

Ansonsten könnte man evtl. auch die folgenden Regeln verwenden, wenn dir diese bekannt sind:

  • Ein Produkt einer geraden Zahl mit einer ganzen Zahl ist wieder eine gerade Zahl.
  • Die Differenz zweier gerader Zahlen ist wieder gerade.

Wende dies dann auf (m + n)² - 2 ⋅ m ⋅ n an.

 - (Schule, Mathematik, Informatik)

Oh den Lösungsweg hatte ich sogar, hab ihn dann aber verworfen, weil ich mit den -2mn nicht zurecht gekommen bin. Danke!

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Zeige zunächst: Ist k eine gerade natürliche Zahl, so ist k² gerade.

Benutze dann dieses Ergebnis, um zu zeigen, dass (m+n)² gerade ist. Du kannst den Beweis von oben auch direkt hier mit m+n anstatt k führen, aber ich finde es stilvoller, solche Hilfsbeweise am Anfang zu führen.

Folgere daraus, dass m²+n² gerade sein muss.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Wie genau folgere ich aus (m+n)^2 , dass m^2 + n^2 gerade ist? Den Teil davor hatte ich auch bereits als Ansatz...

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@washburn51

Nach dem Hilfssatz ist ja (m+n)² gerade. (m+n)² ist aber m²+2m*n+n²; das muss also auch gerade sein.

Jetzt überleg mal, ob m²+2mn+n² gerade sein kann, wenn m²+n² ungerade ist.

Beachte hierzu, dass 2m*n unabhängig von m und n immer gerade ist, und dass die Summe gerader Zahlen wieder gerade ist.

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@MeRoXas

Ja ok, den Teil verstehe ich jetzt auch. Die Frage ist nur, ist das ein direkter Beweis? Unsere Aufgabe bestand darin, die Aussage auf 3 verschiedenen Wegen zu beweisen. Und es ging mir darum, ob man aus A direkt B beweisen kann. Nicht irgendwie indirekt.

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@washburn51

ah nein, ignorier meine letze Nachricht. Habs verstanden :D. Danke!

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@washburn51

Ja, ist direkt.

2mn ist gerade, also muss auch m²+n² gerade sein. Wenn du das so formulierst, ist es okay. Meine Formulierung aus der Rückantwort von gerade war tatsächlich indirekt formuliert.

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Hmmm.

m+n ist eine gerade Zahl, wenn beide Zahlen gerade sind oder wenn beide Zahlen ungerade sind. Eine gerade Zahl plus eine ungerade Zahl ergibt eine ungerade Zahl

Eine Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt eine gerade Zahl, wenn die Zahl gerade eine Zahl ist oder eine ungerade Zahl, wenn die Zahl eine ungerade Zahl ist.

Das multiplizieren mit sich selbst ergibt also was gerade oder ungerade angeht keine Veränderung.

Wenn vorher beide (m und n) gerade Zahlen waren sind sie es nach dem multiplizieren mit sich selbst immer noch. Wenn sie vorher ungerade Zahlen waren, sind sie es nach dem multiplizieren mit sich selbst ebenfalls immer noch.

Das Ganze trifft aber nur für positive Zahlen zu.

Wenn m+n=gerade dann entweder m und n beide gerade oder beide ungerade.

ungerade^2=ungerade ungerade+ungerade=gerade

gerade^2=gerade gerade+gerade=gerade

Der Fall ungerade und ungerade ist Falsch.

Ich habe m+n=gerade nicht beachtet.

Nur der Fall gerade und gerade ist richtig.

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