Quadratzahlen - Rest bei Teilen durch 5?
Hi, kann mir jmd erklären, wie man beweist, dass beim Teilen einer Quadratzahl durch 5 immer ein Rest von 0, 1 oder 4 rauskommt? Ich weiß, dass man eine gerade Quadratzahl auch als (2n)^2 schreiben kann und eine ungerade als (2n+1)^2 aber da das Ergebnis da maximal ne 4 drin hat, bringt mir das für den Beweis nicht so viel. Denke mal ich muss die Zahlen zerlegen. Es ist ja immer (bei 1x1 beginnend) R1, R4, R4, R1, R0, R1, R4, R4, R1, R0 usw aber wie beweise ich das?
Vielen Dank
3 Antworten
(5n + 0)² = 25n² + 0n + 0
(5n + 1)² = 25n² + 10n + 1
(5n + 2)² = 25n² + 20n + 4
(5n + 3)² = 25n² + 30n + 9
(5n + 4)² = 25n² + 40n + 16
Die ersten beiden Summanden sind jeweils immer durch 5 teilbar, also muss man sich nur den letzten Summanden anschauen.
Der Rest beim Teilen durch 5 ergibt sich ausschließlich aus der hintersten Ziffer, da alle Ziffern davor ein Vielfaches von 10 sind und deshalb keinen Einfluss auf den Rest haben.
Bei der Multiplikation zweier Zahlen ergibt sich die hinterste Ziffer des Produkts immer aus der Multiplikation der hintersten Ziffern der Faktoren.
Da die beiden Faktoren einer Quadratzahl gleich sind, sind auch deren hinterste Ziffern gleich. Daher gibt es nur zehn Möglichkeiten, welche hinterste Ziffer das Produkt, also die Quadratzahl, haben kann:
0*0 = 0
1*1 = 1
2*2 = 4
3*3 = 9
4*4 = 16
5*5 = 25
6*6 = 36
7*7 = 49
8*8 = 64
9*9 = 81
Mögliche hintere Ziffern einer Quadratzahl sind also 0, 1, 4, 5, 6, 9. Ist dir vielleicht ja schonmal aufgefallen, dass alle Quadratzahlen in 1, 4, 5, 6 oder 9 enden :)
Rest beim Teilen durch 5:
0, 1, 4, 0, 1, 4
Schlussfolgerung: Beim Teilen einer Quadratzahl durch 5 kommt immer ein Rest von 0, 1 oder 4 raus.
Quelle: https://www.quora.com/Do-perfect-square-numbers-end-only-in-0-1-4-5-6-and-9-If-so-why
Jede ganze Zahl lässt sich eindeutig in der Form 5n+r darstellen, wobei n eine Ganze Zahl ist und r der Rest beim Teilen durch 5 (somit ist r eine Ganze Zahl zwischen 0 und 4).
Schaue dir jeden Fall für r an, und bestimme den Rest vom Quadrat der Zahl, die du in der Form geschrieben hast.
Beispiel:
Der Fall r=1.
Die Quadratzahl ist somit (5n+1)^2=5^2*n^2+5n+1=5(5n^2+n)+1
Bei der Division durch 5 wirst du also bei r=1 den Rest 1 erhalten.
Den Rest überlasse ich dir :)