Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist ungerade? Vollständige Induktion?
Hilfe komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist ungerade. Beweise mit der vollständigen Induktion.
Mein Ansatz:
Das Produkt von zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen würde ich wie folgt beschreiben: (2n-1)*(2n+1).
Das Ergebnis hierbei ist ebenfalls ungerade. Also: (2n-1)*(2n+1) = (2x-1) oder (2x+1) (das hier ist dann wohl meine Induktionsvoraussetzung?)
Beim Induktionsanfang setze ich die kleinstmögliche Zahl, also 1 ein. Also (2*1-1)*(2*1+1)=3. > dies wäre somit schonmal richtig.
Wenn ich in meine linke Seite nun (n+1) einsetze, um zu überprüfen, ob meine Aussage für ein beliebiges n gilt komme ich ins stocken.
(2(n+1)-1)*(2(n+1)+1) das ganze aufgelöst ergibt bei mir 4n^2 +8n +3. Hier weiß ich nicht wie es weitergeht und ob es bisher überhaupt richtig war. Wie setzte ich hierbei meine Induktionsvoraussetzung ein und wie komme ich auf ein richtiges Ergebnis. Würde mich über Hilfestellungen und Erklärungen freuen. DANKE!
3 Antworten
4n^2 +8n +3 = 2(2n^2 + 4n + 1) + 1
ist offensichtlich ungerade.
Hallo,
(2n-1)*(2n+1) ergibt nach der dritten binomischen Formel 4n²-1.
Da 4n² eine durch 4 teilbare Zahl und damit gerade ist, ist ihr Vorgänger 4n²-1 logischerweise ungerade.
Vollständige Induktion nicht nötig.
Herzliche Grüße,
Willy
Ansonsten mach's über die quadratische Ergänzung beim Induktionsschluß:
(2n+1)*(2n+3)=4n²+8n+3=4n²+8n+2-2+3=(2n+2)²+1=(2*(n+1))²+1=4*(n+1)²+1.
4*(n+1)² ist durch 4 teilbar und damit gerade. Ihr Nachfolger 4*(n+1)²+1 ist damit ungerade.
Ich finde das mit vollständiger Induktion zu beweisen etwas übers Ziel hinausgeschossen, aber gut.
Du betrachtest nun die Differenz zwischen 4n²+8n+3 und (2n+1)(2n-1) = 24n²-1 und zeigst, dass diese immer gerade ist.
Das wäre ja zu einfach ;-)
Das mit vollständiger Induktion beweisen zu wollen, halte ich für groben Unfug.
Das Produkt zweier ungerader ganzer Zahlen ist immer ungerade. Die Zahlen müssen nicht aufeinanderfolgend sein. Sie dürfen sogar negativ sein.