Vollständige Induktion Fehler?
Servus,
im Anhang ist eine Beweisaufgabe für vollständige Induktion. Leider entsteht sofort ein Widerspruch, sobald ich die Induktionsvoraussetzung einsetze. Was mache ich falsch?
Die Lösung wollte ich bewusst ohne die Summenformel finden.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Grüße,
hummelxy
3 Antworten
Ich würde versuchen, das (n+1) rechts aus dem Quadrat zu ziehen.
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)²
1³ = 1² (wahr)
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + (n+1)³ = (1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1))² 1³ + ... + n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + n)² + 1*(n+1) + 2*(n+1) + 3*(n+1) + ... + n*(n+1) 1³ + ... + n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + n)² + (1 + 2 + 3 + ... + n)*(n+1) + (1 + 2 + 3 + ... + (n+1))*(n+1) 1³ + ... + n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + n)² + 2(1 + 2 + 3 + ... + n)*(n+1)) + (n+1)² 1³ + ... + n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + n)² + 2(n²/2 + n/2)*(n+1)) + (n+1)² 1³ + ... + n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + n)² + (n² + n)*(n+1)) + (n+1)² 1³ + ... + n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + n)² + (n³ + n² + n² + n) + n² + 2n + 1 1³ + ... + n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + n)² + (n³ + 3n² + 3n + 1)
Hallo,
Induktionsanfang ist bereits bewiesen.
1³+2³+...+n³=(1+2+...+n)²
Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann:
(1+2+...+n)²+(n+1)³=(1+2+...+n+n+1)²
Das kannst Du nach der 1. binomischen Formel (a=1+2+...+n, b=n+1)
umwandeln in (1+2+...+n)²+2*(1+2+...+n)*(n+1)+(n+1)²
Es muß also gelten:
(1+2+...+n)²+2*(1+2+...+n)(n+1)+(n+1)²=(1+2+...+n)²+(n+1)³
(1+2+...+n)² hebt sich auf beiden Seiten auf.
Es bleibt:
2*(1+2+...+n)*(n+1)+(n+1)²=(n+1)³=(n+1)²*(n+1) |-(n+1)²
2*(1+2+...+n)*(n+1)=(n+1)²*(n+1)-(n+1)²=(n+1)²*(n+1-1)=n*(n+1)² |:2(n+1)
(1+2+...+n)=(n/2)*(n+1)
Das aber ist die wohlbekannte Gaußsche Summenformel, die jetzt ganz leicht durch eine weitere vollständige Induktion zu beweisen ist.
Wohlgemerkt:
Die Summenformel hat sich aus dem Beweis ergeben und wurde nicht a priori vorausgesetzt.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
was willst Du denn da beweisen?
Die höchste Potenz auf der linken Seite ist n^3, die höchste auf der rechten ist n^2.
Da ist doch klar, daß da etwas nicht stimmen kann.
Herzliche Grüße,
Willy
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel3.htm
Nicht mal auf dieser Seite ist ein Beweis bekannt, der ohne Summenformel auskommt.
Hallo! Schon mal danke für deine Antwort. Die erste Zeile auf dem Blatt gilt, das habe ich mit dem Induktionsanfang ja auch gezeigt. Dies soll jetzt für alle n (Natürliche Zahlen) gezeigt werden. Da entsteht aber ein Widerspruch im Induktionsschritt, sobald ich die Voraussetzung einsetze. Woran liegt das?