Lösungsweg Vollständige Induktion?

Ich forme mich schon dumm und dämlich um, aber komme einfach nicht auf den Lösungsweg. Induktionsanfang und -annahme habe ich, aber das Umformen klappt nicht.

Ich hoffe sehr, mir kann jemand helfen.

Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger Induktion:

n∑k=1 1/((2k-1)(2k+1)) = n/(2n+1)

Answer 1

[FataMorgana2010]

Wo genau hakt es denn? Du müsstest doch jetzt da stehen haben

$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(2k+1)(2k-1)} = \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$ richtig?

Das musst du jetzt nur noch zu Ende umformen. Und da du ja schon weißt, was rauskommen soll, ist das jetzt nur noch ein winziger Schritt. Also, wo genau kommst du nicht weiter?

Kleiner Tipp: 2n + 3 = 2n + 1 + 2. Damit kommst du so zum Ziel:

$\frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$ $= \frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}$ $= \frac{n(2n+1+2)+1}{(2n+1)(2n+3)}$ $= \frac{n(2n+1) +2n +1}{(2n+1)(2n+3)}$ $= \frac{(n+1)(2n+1) }{(2n+1)(2n+3)}$ $= \frac{(n+1)}{(2n+3)}$ Und da wollen wir ja hin.

Comments

[8363638939393]

Vielen Dank. Das hat mir sehr geholfen. Ich hab mich da irgendwie verstrickt und überhaupt nicht ans Einklammern gedacht.😅 Aber ich lern draus.👍🏻

Answer 2

[LoverOfPi]

$\sum_{k=1}^n\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}=\frac{n}{2n+1}$ Naja

$IA:\ n=1:\ \sum_{k=1}^1\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2+1}$ $IV:\ bla\ bla\ bla$ $IS:\ \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{4k^2-1}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}+\frac{1}{4\left(n+1\right)^2-1}$ $=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{4\left(n+1\right)^2-1}=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}=\frac{\left(2n+3\right)\cdot n+1}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}$ $=\frac{1}{2n+3}\frac{2n^2+3n+1}{2n+1}=\frac{n+1}{2n+3}\cdot\frac{2n+1}{2n+1}=\frac{n+1}{2n+3}=\frac{\left(n+1\right)}{2\left(n+1\right)+1}$ Fertig. Es war übrigens total unnötig von mir, die dritte bin. Formel auszuformen. Wenn du das klug angehst sparst du noch ein paar Zwischenschritte.

Comments

[FataMorgana2010]

Ja, den Nenner fand ich auch sehr verführerisch. Aber das hilft einem nicht wirklich weiter, hab ich dann auch gesehen.

[8363638939393]

Vielen Dank. Das hilft mir sehr weiter.😊