wie kann ich die sigma notation durch induktion beweisen mit End case 2n?

Ich verstehe wie das alles mit end case n funktioniert. Aber wie funktioniert es mit 2n? Muss ich dann 2k+2 einsetzen? Und muss ich dann noch etwas abziehen?

Answer 1

[BorisG2011]

In Teilaufgabe a) läuft die Summe von von 1 bis 2n.

Im Induktionsbeweis ist der Übergang von n nach n+1 verlangt. Diesen Übergang führst du aus, indem du auf beiden Seiten der in Teilaufgabe a) angegebenen Gleichung alle Vorkommen von n durch den Term (n+1) ersetzt. Die Klammern sind dabei wichtig! Du erhältst als Induktionshypothese die Formel

$\sum_{k=1}^{2\cdot\left(n+1\right)}\left(-1\right)^{^k}\cdot k^{^2}\ =\ \left(n+1\right)\cdot\left(2\cdot\left(n+1\right)\ +\ 1\right)$ Das ist von der linken Seite ausgehend durch clevere Äquivalenzumformungen zu zeigen.

Hinweis: Wenn du in der oberen Summationsgrenze die Klammer auflöst, bemerkst du, dass durch den Übergang von n nach n+1 zwei Summanden hinzukommen. Der erste Umformungsschritt des Beweises sollte sein, die neu hinzugekommenen Summanden getrennt von der Summe zu schreiben. Du erhältst so eine formale Summe, die durch die rechte Seite der Induktionshypothese ersetzen kannst.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik