a+b=b+a Beweis mittels vollständiger Induktion?

2 Antworten

Von Experte Littlethought bestätigt

Der Grundgedanke, das rekursiv über die Nachfolgerbeziehung aufzubauen ist richig. Allerdings solltest du dir genau anschauen wie die Addition bei den Peano-Axiomen überhaupt definiert ist und dann diese Definition anwenden. Lass dich nicht von dem was du zur Addition bisher bereits im Kopf hast verwirren.

Hier mußt du eine zweistufige Induktion machen. Zunächst zeigst du, dass

1 + a = a + 1 für alle a

und zwar über vollständige Induktion. Damit hast du den Induktionsanfang für die folgende Schlußfolgerung

Aus a + b = b + a folgt das a + (b+1) = (b+1) + a

was noch zu zeigen ist.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Für die reellen Zahlen ist das Kommutativgesetz ein Axiom, das sich deshalb grundsätzlich nicht beweisen lässt. Ob die Einschränkung auf die natürlichen Zahlen die Beweisbarkeit ermöglicht habe ich noch nicht überlegt.

Ich würde etwa wie folgt anfangen:

  1. Fall b= a => a +b = a+ a = b + a ; q.e. d.
  2. Jede Zahl ist einer der Nachfolger der Zahl 1

v(1) +1 = ( 1+1 ) +1 = mit Assoziativgesetz = 1 + (1+1) = 1 + v(1)

usw.

P.S.: Die Antwort von DerRoll war noch nicht sichtbar als ich die meine schrieb.

Woher ich das weiß:Beruf – Lehrer für Mathematik und Physik i.R.

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