Hilfe bei dieser Matheaufgabe, verstehe die Lösung nicht (Termumformung, Induktion)?
Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich eine Ungleichung mittels vollständiger Induktion beweisen soll. Beim Lösungsweg steht etwas, das mich verwirrt:
Also der linke Term soll, wenn man ihn "auseinanderzieht" ,den rechten Term ergeben.
Ich verstehe aber nicht, wie die das gemacht haben... Also es leuchtet mir irgendwie nicht ein, wie das was links steht das gleiche wie der rechte Term sein soll....
Kann das jemand erklären?
Danke im voraus
2 Antworten
Ich mach es mal mit Zahlen:
Summe von 1 bis 10 von irgendwas
ist dasselbe wie
Summe von 1 bis 5 von irgendwas + Summe von 6 bis 10 von irgendwas.
In deinem Beispiel hast du erst eine Summe von 1 bis 2^(n+1) - 1.
Die ziehst du auseinander, erst hast du den Teil von 1 bis 2^n - 1, dann zählst du weiter und hast den Teil von 2^n bis 2^(n+1) - 1.
Also
a1 + a2 + a3 + a4 + ...... + a_(2^n - 1) + a_(2^n) + .... + a_(2^(n+1) - 1)
ist die Gesamtsumme. Die zerlege ich in
[ a1 + a2 + a3 + a4 + ...... + a_(2^n - 1) ] + [a_(2^n) + .... + a_(2^(n+1) - 1) ]
Die zweite Summe hört da auf, wo die dritte Summe anfängt. Differenz von 1, damit nichts doppelt.
Die Terme über die Summe sind gleich.
Die zweite Summe fängt wie die erste Summe bei 1 an.
Der Endwert der ersten und dritten Summe sind gleich.
Fazit: die erste Summe ist nur in zwei Summen aufgeteilt worden.