Wie funktioniert die Induktionsbehauptung?

Also, ich verstehe, dass man beim Induktionsanfang zunächst die Formel für ein bestimmtes n beweist – hier im Bild n = 1.

Dann, beim Induktionsvorschlag, sagt man, dass die Formel auch für jedes beliebige, aber feste n gelten soll. Also sozusagen für jedes n der natürlichen Zahlen. (Es handelt sich um eine unendliche Menge, weswegen man überhaupt die vollständige Induktion benötigt.)

Schließlich will man bei der Induktionsbehauptung beweisen, dass wenn sie für einen Fall gilt, sie auch für den nächsten Fall gilt. Domino-Effekt mäßig.

Nun verstehe ich jedoch bei diesem Beispiel (siehe Bild) nicht, wie man von

(n(n+1)/2 zu (n+1)(n+2)/2) kommt.

Dass das irgendwie der "nächste Fall" ist, ist mir schon klar. Aber warum ist es zum Beispiel nicht (n(n+2)/2)? Warum ist das n vor den (n+1) weg? Ich verstehe nicht, wie man darauf kommt.

Answer 1

[evtldocha]

Der Induktionsschritt n --> n+1 rechnet sich so:

$\sum_{k=1}^{n+1}k=\left(\sum_{k=1}^nk\right)+\left(n+1\right)\ =^{\left(IV\right)}=\frac{n\cdot\left(n+1\ \right)}{2}+\left(n+1\right)=$ $=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}+\frac{2\cdot\left(n+1\right)}{2}\ =\frac{n\cdot\left(n+1\right)+2\cdot\left(n+1\right)}{2}=\frac{\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)}{2}$

Hinweis: Im letzten Schritt wird (n+1) ausgeklammert. Mit (IV) habe ich die Stelle markiert, an der die Induktionsvoraussetzung verwendet wird.

Comments

[jedrzejkoko]

Vielen Dank!

Answer 2

[Mathmaninoff, UserMod Light]

In der untersten Zeile steht das gleiche wie drüber, nur dass man n durch n + 1 ersetzt. Zu zeigen ist nämlich, dass wenn die Formel für ein festes n gilt, sie auch für n + 1 gilt.