Eigenschaften von Relationen?
Hallo Aufgabenstellung siehe Bild.
Ich wollte fragen, ob jmd meine Lösungen, Begründungen, Gegenbeispiele (siehe Kommentarbereich) überprüfen könnte?
Bei b) bräuchte ich zusätzlich Hilfe bei der Formulierung der Begründung, warum sie reflexiv und symmetrisch ist. Auch benötige ich Hilfe, ob b) transitiv ist oder nicht.
Vielen Dank schon im voraus!
4 Antworten
Zu deinen Lösungen von a):
Du hast ein Fehler bei Antisymmetrie:
Antisymmetrie ist definiert als: (a,b) und (b,a) in R => a=b
Da ist aber kein Paar von Tupeln drin, die das widersprechen.
Transitivität ist auch inkorrekt begründet. Nach transitivität folgt nicht, dass wenn (1,2) und (2,2) drin sind, dass dann (2,1) drin sein müssen. Schau dir nochmal an, wie es genau definiert ist.
Asymmetrie: es soll nicht irreflexiv heißen.
(Btw: bitte mache deine lösungen das nächste Mal nicht als extra antwort, hänge die das nächste Mal an der Frage an, du kannst im Nachhinein deine Frage bearbeiten. So muss jeder Antwortgeber nämlich unnötig hin und her scrollen (vor allem am Handy) weswegen man leicht Fehler macht).
Zu b):
reflexiv: überlege, ob n<=2n immer wahr ist.
irreflexiv: korrekt
Symmetrie: es existiert mindestens ein Gegenbeispiel.
Antisymmetrie: es existiert mindestens ein Gegenbeispiel
Asymmetrie: korrekt.
Transitivität: es existiert mindestens ein Gegenbeispiel. Tipp: mir fällt spontan ein Beispiel ein, wo das Tupeln (6,2) vorkommt.
Ich meine nicht bei b, sodnern bei a. Also die erste Relation. Bei b hat er es auch richtig geschrieben. Bei a nicht.
Kannst du das Gegenbeispiel bei Transitivität bei b einmal angeben? Ich sehe keines... und ist das hier nicht auch ein Beweis, dass die Transitivität erfüllt ist?
Wenn a≤2b und b≤2c, dann ist a≤4c und somit ist "Wenn (a,b) und (b,c) enthalten, dann auch (a,c) enthalten" immer erfüllt.
Wenn a≤2b und b≤2c, dann ist a≤4c und somit ist "Wenn (a,b) und (b,c) enthalten, dann auch (a,c) enthalten" immer erfüllt.
Das "oder n=3m" darfst du nicht ignorieren.
Gegenbeispiel:
(6,2) und (2,1) sind drin, da 6=3*2 und 2<=2*1. Jedoch ist (6,1) nicht drin, da weder 6=1*3 noch 6<=2*1 gelten
a)
R₁ ist transitiv. Schau dazu alle Paare der Form (x, y), (y, z) an (es gibt nur 3). Ist dabei immer (x, z)∈R₁? Dein Gegenbeispiel ist falsch: hier ist x=1, y=2 und z=2, also (x, z)=(1, 2) – nicht (2, 1).
R₁ ist auch antisymmetrisch: Prüfe dazu dass für alle Elemente (x, y) mit x≠y die Umkehrung (y, x)∉R₁.
R₁ ist nicht asymmetrisch, weil sie nicht irreflexiv ist.
b)
R₂ ist reflexiv, denn für jedes n∈ℕ gilt n≤2n (Beweis: 0≤n ⇔ 0+n≤n+n ⇔ n≤2n).
Ist R₂ transitiv? Schau Dir mal nur die zweite Bedingung an: Folgt aus n=3m und m=3o ⇒ n=3o? Wohl kaum. Daraus kannst Du Dir ein Gegenbeispiel basteln: (9, 3)∈R₂, (3, 1)∈R₂, aber (9, 1)∉R₂, da weder 9≤2·1 noch 9=3·1 gilt.
Ist R₂ symmetrisch? Dazu müsste die Bedingung auch wahr sein, wenn Du n und m vertauschst. Danach sieht sie aber nicht aus. { m≤2n oder m=3n } ist nicht dasselbe wie die Original-Bedingung. Probier einfach ein paar Werte durch: Mit (1, 2) klappt es nicht, da auch (2,1)∈R₂. Aber (1, 4)∈R₂ passt, denn (4, 1)∉R₂ (wegen 4>2·1 und 4≠3·1).
R₂ ist aber auch nicht antisymmetrisch, weil (1, 2)∈R₂ und (2,1)∈R₂. Damit ist R₂ natürlich auch nicht asymmetrisch.
a)
transitiv: Ja, da gilt "Wenn (a,b) und (b,c) enthalten sind, dann muss auch (a,c) enthalten sein". (0,2) und (2,2) => (0,2) ist genauso erfüllt wie (0,1) und (1,2) => (0,1).
asymmetrisch: Nein, da nicht irreflexiv
antisymmetrisch: Ja, da gilt "Wenn (a,b) und (b,a) enthalten sind, dann muss a=b sein". Das einzige Paar, was diese Voraussetzungen erfüllt ist (2,2) und 2=2 ist eine wahre Aussage.
b)
reflexiv: Ja, da gilt "Für alle a aus ℕ gilt, dass (a,a) in der Relation ist". Liegt daran, dass mit n≤2m es für jedes m ein n gibt, dass den gleichen Wert hat, da n ja auch kleiner als 2m sein kann, insebsondere dann auch gleich m.
transitiv: Nein, da (6,3) und (3,1) enthalten sind, aber nicht (6,1).
symmetrisch: Ja, denn wenn (a,b) enthalten ist, muss (b,a) auch enthalten sein, was immer geht. Denn wegen a≤2b und b≤2a erhalten wir a≤4a, was für alle natürlichen Zahlen wahr ist.
Alles andere ist soweit korrekt.
Bitteschön :)
symmetrisch: Ja, denn wenn (a,b) enthalten ist, muss (b,a) auch enthalten sein, was immer geht. Denn wegen a≤2b und b≤2a erhalten wir a≤4a, was für alle natürlichen Zahlen wahr ist.
Was ist mit (1,4) und (4,1)?
Hab es eben durch deinen Kommentar unher deiner Antwort auch bemerkt :)
Was habe ich hier vergessen? Ich versuche durch einen Widerspruch zu beweisen, dass die Transitivität nicht gegeben ist. Sorry falls ich nerve, aber ich verstehe gerade nicht, was ich falsch mache... :(
Nehmen wir an, die Transitivität sei erfüllt, dann gilt "wenn (a,b) und (b,c) sind enthalten, dann auch (a,c)". Das müssen wir jetzt für alle Fälle zeigen. Wenn a≤2b und b≤2c, dann ist auch a≤4c, das ist immer wahr. Wenn a≤2b und b=3c, dann ist auch a≤6c immer wahr. Wenn a=3b und b≤2c, dann ist auch a≤6c immer wahr. Wenn a=3b und b=3c, dann ist auch a=9c immer wahr.
Zu a)
Zu b)
Bitte füge die Bilder das nächste Mal bei deiner Frage hinzu. So zwingst du uns, unnötig hin und her zu scrollen, wodurch man leichter Sachen übersieht.
Tut mir leid für die unannehmlichkeiten und vielen Dank für die Hilfe. Werde ich beim nächsten Mal machen
Bei a) doch auch nicht asymmetrisch, weil nicht irreflexiv. Es gibt also ein Paar (a,b) und ein Paar (b,a) in der Relation - nämlich (2,2) - weswegen die Asymmetrie nicht erfüllt ist. Und nicht wegen "nicht reflexiv" wie bei ihm steht... oder?